数学吧观察日记

OI 学久了，提升一下数学素养。

3.8.1（几何）\(\color{green}\bigstar\)

一万年没做过几何了，有点难度。

注意到 \(P\) 是中点，连 \(BD,DF\) 然后分别做中点，就可以简单构造全等三角形了。

偷个图：

3.9.1（线代？） \(\color{green}\bigstar\)

\[a=(1,1,1,1)\\ b=(1,1,-1,-1)\\ c=(1,-1,1,-1)\\ d=(1,-1,-1,1) \]

由于 \(\sum a_ib_i=0\)，所以说 \(\sum [a_i\ne b_i]=7\)。

设有三个 \(14\) 维信号向量 \(a,b,c\) 两两垂直。

那么 \(a,b\) 有 \(7\) 处不同，\(b,c\) 有 \(7\) 处不同，容易发现 \(b,c\) 不同的位置数一定是偶数，因此不可能垂直。

三个不合法，\(14\) 个必然也不合法。

还是考虑不同位置的和。

最终序列满足 \(\forall a,b\in [1,k],a\ne b,\sum_{i=1}^{2024}[x_{a,i}\ne x_{b,i}]=1012\) 。

因此

\[\sum_{a=1}^{k}\sum_{b=a+1}^{k}\sum_{i=1}^{2024} [x_{a,i}\ne x_{b,i}]=\frac{k(k-1)}{2}\times 1012 \]

然后考虑每一维的贡献，对于一个 \(i\)，显然满足。

\[\sum_{a=1}^{k}\sum_{b=a+1}^{k} [x_{a,i}\ne x_{b,i}]\le \frac{k^2}{4} \]

也就是满足条件的方案一定满足：

\[\frac{k^2}{4}(2024-m)\ge \frac{k(k-1)}{2}\times 1012 \]

整理后得到 \(mk\le 2024\)，也就是 \(\sqrt{mk}<45\)。