agc027 题解

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A \(\color{gray}\bigstar\)

排序。

B \(\color{blue}\bigstar\)

挺困难的。

考虑 \(X\) 的贡献，只和扔垃圾次数有关，也就是需要看出去的次数。

然后考虑如果拿若干个垃圾，肯定是先走到最右边，然后回来的路上拿。

因此给每个点一个值，表示它是在自己那一趟里第几个被拿的。

容易发现每个值对应一个贡献，这个贡献需要乘上它所在位置，并且值越大贡献越大。

贪心，把小的值分配给后面的，然后没了。

C \(\color{green}\bigstar\)

相当于要拿出一个闭合子图，要求每个点都可以到达 AB。

拓扑排序，每次把不合法的点删掉。

D \(\color{Gold}\bigstar\)

一开始有个直接的想法就是黑白染色，然后每个黑点给一个奇素数，然后白点的值是周围一圈的乘积加一，这样满足一定不会重复而且合法。

但是爆炸，白点上的数太大了。

然后发现不会做。。。

正解是，每个黑点上的数是两个素数的乘积，然后黑点的数是周围一圈 \(\text{lcm}+1\)，然后一条主副斜线各给一个素数，这样就满足条件了。

E \(\color{Gold}\bigstar\)

首先一步简单的转化是，\(a\) 看成 \(1\)，\(b\) 看成 \(2\)，那么合并就是加起来 \(\bmod 3\)。

首先发现，如果一个序列是 abababab...，那么显然操作不了。

否则证明，这个序列如果 \(\bmod 3\ne 0\)，那么可以操作成一个字符。

归纳，就是如果有几个相邻相同的，一定存在一个使得操作之后还有相邻相同的。

然后我们把序列分成若干段，然后每一段都满足 \(\bmod 3\ne 0\)，对应一种方案。

贪心，一定是每次选一个最小的前缀。

但是最后可能会多出来一段和为 \(0\) 的。

调整，最后一段先和前面一段合并，然后如果操作不了，说明一定是 ababa 这样的，那么把最后一个扣出，然后前面的再和前面的合并，直到合并到一个可以操作的即可。

F \(\color{blue}\bigstar\)

一步操作之后，就可以确定一个不动的根，把关系列出来拓扑排序即可。