计算几何 学习笔记

二维向量以及基础知识

二维向量是一条有向线段，只有长度和方向，因此可以用 \((x,y)\) 来表示一条向量从 \((0,0)\) 指向 \((x,y)\)。

对于一条向量 \(x\)，\(|x|\) 表示模长，也就是长度。

对于 \(a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)\)：

模长：\(|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)。

向量加：\(a+b=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。

数乘 \(az=(x_1,y_1)\times z=(zx_1,zy_1)\)。

点积：\(a\cdot b=|a||b|\cos \theta=x_1y_1+x_2y_2\)，\(\theta\) 表示夹角。

叉积：\(a\times b=|a||b|\sin \{a,b\}=x_1y_2-x_2y_1\)，$\sin {a,b} $ 表示从 \(a\) 转到 \(b\) 的夹角的 \(\sin\) 值。

容易发现这几个运算满足运算基本定理，结合律，交换律，分配率。

简单的代码实现：

struct Po {
  db x, y;
};
Po operator+(Po x, Po y) { return {x.x + y.x, x.y + y.y}; }
Po operator-(Po x, Po y) { return {x.x - y.x, x.y - y.y}; }
db operator*(Po x, Po y) { return x.x * y.x + x.y * y.y; }
db operator/(Po x, Po y) { return x.x * y.y - x.y * y.x; }

判定两条线段相交

需要满足两个条件：

• 该线段作为对角线的矩形有交。

• 对于两条线段分别做以下判定：

  一条线段是 \(ab\)，另一条是 \(cd\)，判定\(\overrightarrow{ca}\) 和 \(\overrightarrow{cb}\) 是否在 \(\overrightarrow{cd}\) 异侧。

求两向量夹角

\[\theta=\text{acos}( \frac{a\cdot b}{|a||b|}) \]

判断一点是否在多边形内部

从这个点出发随机射出一条射线，与多边形边有奇数个交点就说明在其内部。

二维凸包

这个其实比较简单，容易发现 \(x\) 轴最小和最大的点一定在凸包上，因此求个上凸包和下凸包即可。

具体实现就是开个单调栈，从左向右把点加进去，需要满足斜率的单调。

如果有共线的情况还是比较阴间的。

洛谷数据太水，这是参考实现。

旋转卡壳

省选前更新一下（

就是对于凸包求最远两点的距离，考虑用两条平行线去夹凸包，然后一起旋转，得到所有可能更新答案的方案。

凸包转的时候，一个点会在多条平行线的方案里，因此去考虑每条边，然后找到对面的点进行更新。

注意，线必须转完一圈，不能只转一半。

参考代码

求最小矩形覆盖

相当于现在是找四个点，还是可以用一条边去找点对，然后左右两边用点积求即可。