各种反演技巧
二项式反演
\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^i=[n=0]
\]
所以得到
\[f_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}g_i\\
g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}f_i
\]
考虑每一项的贡献都是最上面那个式子。
一句话速通：
\[f=e^xg\\
g=e^{-x}f
\]
单位根反演
一般用来解决形如 \(i\equiv j\pmod p\) 的计数。
\[[n|a]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}w_n^{ai}
\]
证明比较简单，如果 \(n|a\)，那么右边的 \(w_n^{ai}=1\)，否则右边加起来可以等比数列一下，发现等于 \(0\)。
loj6485
\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^ia_{i\bmod 4}\\
=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i\sum_{j=0}^3 [4|(i-j)]a_j\\
=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i\sum_{j=0}^3 a_j\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3 w_{4}^{k(i-j)}\\
=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 a_j\sum_{k=0}^3 w_{4}^{-kj}\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^iw_4^{ki}\\
=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 a_j\sum_{k=0}^3 w_{4}^{-kj}(sw_4^k+1)^n\\
\]
