各种反演技巧

二项式反演

$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^i=[n=0]$$

所以得到

$$f_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}f_i$$

考虑每一项的贡献都是最上面那个式子。

一句话速通：

$$f=e^xg\\ g=e^{-x}f$$

单位根反演

一般用来解决形如 $i\equiv j\pmod p$ 的计数。

$$[n|a]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}w_n^{ai}$$

证明比较简单，如果 $n|a$，那么右边的 $w_n^{ai}=1$，否则右边加起来可以等比数列一下，发现等于 $0$。

loj6485

$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^ia_{i\bmod 4}\\ =\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i\sum_{j=0}^3 [4|(i-j)]a_j\\ =\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i\sum_{j=0}^3 a_j\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3 w_{4}^{k(i-j)}\\ =\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 a_j\sum_{k=0}^3 w_{4}^{-kj}\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^iw_4^{ki}\\ =\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 a_j\sum_{k=0}^3 w_{4}^{-kj}(sw_4^k+1)^n\\ $$

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