【典】P6773 和区间有关的 dp 的一种简单状态+线段树（合并）维护dp

拿命运做标题其实是因为最广为人知吧，主要是总结这种 dp 设计方法以及线段树维护的巧妙之处。

已知一个序列，有 \(Q\) 个区间修改（限制条件），求有多少方案数（最小最大值）。

这种区间的限制一般比较阴间，没有那么简单。

这里要介绍的一种方法就是列状态 \(f_{i,j}\) 表示 \([1,i]\) 已经填好，接下来对 \(i\) 产生影响的区间的右端点的最大值（最小值）为 \(j\)，在区间的加持下，一般可以用线段树进行优化。

这种做法的好处是转移很简单，而且思维难度较低，线段树优化一般也比较显然，不需要对复杂的区间关系进行处理。

先来个简单题。

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ARC085F *3094

有一个长度为 \(n\) 的序列 \(b\)，现在有一个初始全部是 \(0\) 的序列 \(a\)，有 \(Q\) 种操作，每种操作可以把一个区间 \([l_i,r_i]\) 全部变成 \(1\)，定义一个序列的价值为 \(\sum |a_i-b_i|\)，求若干次操作后的最小价值。

\(n\le 2\times 10^5\)。

纵观洛谷题解和 AT 题解，都可以发现做法要么把区间设进状态里，要么对区间关系进行分类讨论，或者进行复杂转化，总之，思维难度大，代码也不是很好写。

来一个无脑解法。

设 \(f_{i,j}\) 表示填完前 \(i\) 个了，那么考虑前面的区间会对后面造成的贡献是什么，自然就是覆盖为 \(1\) 的区间的右端点，因此 \(j\) 就表示前面选了的区间的右端点最大值。

有了这个状态，转移方程就十分自然。

\[f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j}+b_i&j<i\\f_{i-1,j}+1-b_i&j\ge i\end{cases}\\ f_{x,y}=1-b_{x}+\min_{j<y} f_{x-1,j} \]

后面的需要满足 \([x,y]\) 是一个操作，这样可以直接前缀 \(\min\) 维护。

意思就是如果选一个区间，那么就是右端点和 \(y\) 取一个 \(\max\) 即可，一个区间在它的左端点选。

这样就可以得到一个 \(O(n^2)\) 的 dp，code。

考虑怎么优化这个式子。

其实也比较简单，用一个线段树动态维护，把第一维扔掉，那么第一个式子就是前缀，后缀加，第二个式子就可以直接前缀查 \(\min\)，单点修改。

code

代码不是最短的，但写起来非常无脑。

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CF930E *2900

一个长度为 \(k\) 的 \(01\) 串，给出 \(n+m\) 个约束条件，其中 \(n\)条描述区间 \([l_i,r_i]\) 至少有一个 \(0\)，其中 \(m\) 条描述区间 \([l_i,r_i]\) 至少有一个 \(1\) 。求合法的 \(01\) 串数量，答案对 \(10^9+7\) 取模。
\(k\le 10^9,n,m\le 10^5\)。

标签：dp，线段树。

和上面一题差不多，也是直接用 dp 式子。

先设 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(1...i\) 填完，左端点在 \(i\) 左边，没有被满足的 \(0\) 限制右端点最小是 \(j\)，\(1\) 限制是 \(1\) 的是 \(k\) 的方案数。

然后发现 \(i\) 要么填 \(1\) 要么填 \(0\)，所以必然有一个限制可以扔掉，所以状态变成 \(f_{i,j,0/1}\)。

然后转移就很简单，直接讨论 \(i+1\) 填什么即可，可以看 暴力代码，时间复杂度 \(O(k^2)\)。

然后发现这个东西可以用线段树优化，分析一下转移方程可以发现是一个后缀加到一个点上以及区间清空，如果后面没有限制 \(j\) 就给个最大值，所以可以直接维护，时间复杂度 \(O(k\log k)\)。

然后发现可以离散化，中间状态就是满足至少有一个 \(0\) 或者 \(1\) 去转移，也就是$ 2^s-1\(，\)s$ 为区间长度，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

code

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P6773

给定一棵 \(n\) 个点的树和 \(m\) 条限制，你可以给树上的每一条边赋一个 \(0\) 或 \(1\) 的权值。对于所有限制 \((u,v)\) （保证 \(v\) 为 \(u\) 的祖先） 你需要保证 \(u\) 到 \(v\) 上至少有一条边的权值为 \(1\)，求赋值方案数。
\(n,m\le 5\times 10^5\)

考虑暴力 dp 咋做，本质上就是上面题的树上版本。

依然用前面的状态 \(f_{i,j}\) 表示在 \(i\) 子树中所有下端点限制中，没有满足的上端点的深度最大值是 \(j\)，\(i\) 子树中的填边方案，因为如果有多个不满足条件的上端点，显然取最下面哪一个，因为最下面的满足了上面的也一定满足，如果 \(j=0\)，则表示条件都满足。

考虑咋转移。

如果 \(u\) 的儿子是 \(v\)，那么如果 \((u,v)\) 填 \(1\)，那么与状态没有啥关系，直接加和就好了。

\[f_{u,i}=\sum_{j=0}^{dep_u}f_{u,i}f_{v,j} \]

否则考虑填 \(0\)，那么此时状态第二维就要取两者较大值。

\[f_{u,i}=\sum_{j=0}^i f_{u,i}f_{v,j}+\sum_{j=0}^{i-1} f_{u,j}f_{v,i} \]

最后可以得到转移方程：

\[f_{u,i}=f_{u,i}(\sum_{j=0}^{dep_u}f_{v,j}+\sum_{j=0}^i f_{v,j})+f_{v,i}(\sum_{j=0}^{i-1} f_{u,j}) \]

令 \(mx_i\) 表示限制中以 \(i\) 为下端点的，上端点深度最大值，那么初值就是 \(f_{i,mx_i}=1\)。

暴力代码可以看卡老师的，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

考虑咋优化。

可以考虑线段树合并，每个节点开一棵线段树，分别表示状态，然后考虑状态咋合并。

第一个式子直接从左向右合并时维护和即可。

第二个就是一个 \(\max\) 卷积，也是直接维护前缀和。

code