wqs 二分学习笔记&做题记录
一直以为是什么很难的算法。。
wqs 二分解决的就是形如“恰好选 \(k\) 个的最大值” 这样的问题。
具体而言就是恰好 \(k\) 个这个条件很难搞时，对数据做一个偏移量，也就是所有数都去加上 \(x\) ，然后去掉这个条件跑最优解，这样得到的最优解选了几个计算一下，可以发现这个 \(x\) 会对最后选了几个造成影响，而且是单调的，那么就可以二分了。
它的原理是啥呢，就是说假设每种选择方案对应这个偏移量 \(x\) 是一个一次函数，那么显然有一个最低点，而一个 \(x\) 对应的最低点的就可以二分去找了。
来个例题。
给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 \(need\) 条白色边的生成树。
\(n\le 5\times 10^4,m\le 10^5\)。
典题，考虑如果去掉恰好这个条件就是直接最小生成树。
考虑如果偏移量加在什么上面，容易发现把所有白边边权全部加上 \(x\) 后选白边自然会变小，而且这是单调的，所以直接二分即可。
很多博客都用什么凸包什么的进行讲解，我认为是把简单的思想复杂化了。
P3620 \(\color{green}\bigstar\)
有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，选出 \(k\) 个数，满足这 \(k\) 个数两两不相邻且和最大。
\(n\le 5\times 10^5,2k\le n,1\le a_i\le 10^9\)。
不是很难的题。
如果没有限制可以直接 dp，有限制暴力是直接加一维。
一个比较显然的思路是全体加上 \(x\)，这样选出数的数量就会产生单调的影响，因此直接二分即可。
另一个做法是反悔贪心，code
ABC218H *2805 \(\color{green}\bigstar\)
有 \(n\) 盏灯，选择 \(k\) 盏点亮，如果 \(i\) 和 \(i+1\) 状态不一样就可以获得 \(a_i\) 的得分，求最大得分。
\(n\le 2\times 10^5,1\le a_i\le 10^9\)。
考虑第 \(i\) 个灯对答案的最大贡献为 \(a_i+a_{i-1}\)，可以发现选择不连续的点一定最优，但如果 \(k\) 很大无法满足这个条件，因此取一个 \(k=\min (k,n-k)\) 即可。
然后就和上面一个问题一样了。
太菜了，咕咕咕。
