拉格朗日差值学习笔记&做题记录

好像是多项式最基础的算法（？，但是咕了比较久，现在学一下吧。

差值是啥

这个东西类似于 FFT 的转化过程，就是多项式点值和多项式系数的转化，简而言之就是解决下面的问题，P4781。

已知一个 \(n-1\) 次多项式的 \(n\) 个点值，\(f(x_i)=y_i\)，已知 \(k\)，求 \(f(k)\bmod 998244353\)。

\(n\le 2000\)

咋做

显然可以直接列方程然后高斯消元，复杂度 \(O(n^3)\)，非常寻宝。

考虑一个构造，令 \(F(x)=\sum f_i(x)\frac{y_i}{f_i(x_i)}\)，其中 \(f_i(x)\) 是一个和 \(x_i\) 有关的多项式，满足 \(f_i(x_i)\ne 0,f_i(x_j)=0(j\ne i)\)，这样就可以满足 \(F(x_i)=y_i\) 了，因为其他项全都是 \(0\)。

再考虑怎么去构造这个 \(f_i(x)\)。

因为显然 \(x_i\) 互不相同，所以可以构造出：

\[f_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j) \]

最后整理一下，可以得到：

\[F(k)=\sum_{i=1}^n y_i \frac{\prod_{j\ne i}(k-x_j)}{\prod_{j\ne i} (x_i-x_j)} \]

直接计算，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

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• 点值连续差值

上面部分相当于一个前缀乘上一个后缀可以直接预处理，下面部分相当于每次一个阶乘乘上一些 \(-1\)，可以列出：

\[F(k)=\sum_{i=1}^n y_i \frac{\prod_{j\ne i}(k-x_j)}{(i-1)!(n-i)!(-1)^{n-i}} \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

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• 求系数

上面的做法可以查询出一个值，但是这个多项式具体是啥呢。

其实也很简单，考虑主要麻烦的是 \(\prod_{j\ne i}(k-x_j)\),可以先算 \(\prod (k-x_i)\) 然后再去除就好了。

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做题记录

CF622F *2600

已知 \(n,k\),求 \(\sum_{i=1}^n i^k\)。

\(n\le 10^9,k\le 10^6\)。

比较板子的题。

考虑设 \(f(x)=\sum_{i=1}^x i^k\)，最后要求的就是 \(f(n)\)。

考虑 \(f(x)\) 的次数是多少，考虑差分一下，\(f(x)-f(x-1)=x^k\)，这是个 \(k\) 次项式子，那么根据多项式基本知识，前缀和次数加一，所以原式是 \(k+1\) 次多项式。

所以直接差值，然后用点值连续的做就好了。

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P5667

已知 \(n,m\)，以及 \(f(0),f(1)\dots f(n)\)，求 \(f(m),f(m+1)\dots f(m+n)\)。

\(n\le 160000,n<m\le 10^8\)。

求连续点值可以做到 \(O(n^2)\)，寄。

发现要求的点值连续，考虑直接推式，此处为了方便先把 \(n\) 加一。

\[f(k)=\sum_{i=1}^n y_i\frac{k!}{(k-n)!(k-i+1)(i-1)!(n-i)!(-1)^{n-i}} \]

这个式子和上面的本质相同。

\[f(k)=\frac{k!}{(k-n)!}\sum_{i=1}^n \frac{y_i}{(k-i+1)(i-1)!(n-i)!(-1)^{n-i}}\\ =\frac{k!}{(k-n)!}\sum_{i=1}^n \frac{y_i}{(i-1)!(n-i)!(-1)^{n-i}}\frac{1}{k-i+1}\\ \]

直接卷积即可。

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