五月杂题选做（part 2）

上回说到：2022.5 part 1

关于难度

$\color{gray}\bigstar$ 可以秒杀的题。

$\color{green}\bigstar$ 思考一会儿后可以秒的题。

$\color{blue}\bigstar$ 需要较长时间思考的题。

$\color{Gold}\bigstar$ 看题解、稍加指点就会做的题。

$\color{red}\bigstar$ 看题解后需要较长时间消化，甚至现在都没有完全理解的题。

---

ARC106D *1988 $\color{green}\bigstar$

已知一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ 和一个数 $k$，对于所有 $1\le X\le k$，求

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n (a_i+a_j)^X$$

答案对 $998244353$ 取模。
$n\le 2\times 10^5,k\le 300$。

标签：组合。

直接二项式定理展开，推式子就好了。

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_i+a_j)^X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{p=0}^X \binom{X}{p}a_i^pa_j^{X-p}\\ =X!\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{p=0}^X \frac{a_i^p}{p!}\frac{a_j^{X-p}}{(X-p)!}\\ =X!\sum_{p=0}^X (\sum_{i=1}^n \frac{a_i^p}{p!}) (\sum_{j=1}^n \frac{a_j^{X-p}}{(X-p)!})\\ $$

可以发现是一个卷积，记 $f_i=\sum_{j=1}^n \frac{a_j^i}{i!}$，答案就可以直接卷积得到，暴力卷积即可，时间复杂度 $O(k^2+nk)$。

code

---

ARC113D *1389 $\color{green}\bigstar$

对于一个 $n\times m$ 的矩阵，每个元素都 $1\le a_{i,j}\le k$，定义 $a_i$ 表示第 $i$ 行的最小值，$b_i$ 表示第 $i$ 列的最小值，已知 $n,m,k$，求有多少个不同的 $(a,b)$，答案对 $998244353$ 取模。
$n,m,k\le 2\times 10^5$。

标签：计数。

最简单的一个 ARC D，但还是想了一会儿的。

考虑一个很简单的东西，就是 $\max(a_i)\le \min(b)$ 这个东西可以很简单可以证明，然后可以发现，除非矩阵只有一行或一列，否则只要满足上面条件的 $(a,b)$ 都可以凑出。

所以答案就简单了，枚举 $i=\max(a_i)$，那么 $a$ 的贡献可以直接容斥，就是 $(i^n-(i-1)^n)(k-i+1)^m$，直接算即可。

code

---

ARC112D *2028 $\color{green}\bigstar$

有一个 $n\times m$ 的滑雪场，每次可以朝一个方向滑行，如果是冰则直接通过，直到到达一块地面或者撞到边缘停下，现在有一些地方已经是地面，求至少要把多少个冰改成地面可以使一个人从 $(1,1)$ 出发可以到达所有点。

标签：模拟（？

考虑可以到达的点一定是一整行或者一整列的，然后一块地面就是可以从一行走到一列，那么可以直接并查集维护，最后的目标就是覆盖每一行或者每一列，直接找连通块个数即可。

code

---

ARC126D *2332 $\color{green}\bigstar$

有一个长度为 $n$ 的序列，每个元素都 $1\le a_i\le k$，每次可以交换两个数，问至少多少次操作后满足有一个连续子序列是 $\{1,2,3...k\}$。

$n\le 200,k\le 16$。

标签：dp。

显然直接状压 dp，如果选了一个数，那么对答案的贡献就是选的数的逆序对个数加上到目标位置的距离，目标位置显然是移动到中位数，直接做就好了。

code

---

ARC139D *2816 $\color{red}\bigstar$

有一个长度为 $n$ 的序列，进行 $k$ 次操作，每次操作随机选择一个 $[1,m]$ 的数加入序列，然后把序列中第 $x$ 小的数删除，求所有方案最后序列中的数之和的和。

$n,m,x,k\le 2000$。

标签：计数。

神题，主要是因为题解看不懂，所以想了很久。

所有数的和可以转化为对于每个 $1\le i\le m$，计算有多少个数 $\ge i$ 即可。

开始时先找到 $\ge i$ 的左端点，然后考虑这个左端点的移动，先考虑开始时在 $x$ 右边，那么如果放 $[1,i-1]$，那么位置不变，如果放 $[i,m]$，那么就左移动一格，在 $x$ 左边同理。

那么直接枚举左端点最后移动到了哪里，直接计算方案数即可。

code

---

AGC021D *2287 $\color{green}\bigstar$

定义一个字符串 $s$ 的价值是它和它翻转后的串的最长公共子序列，现在已知一个串，进行最多 $k$ 次修改操作，求修改后权值最大是多少。

$|s|,k\le 300$。

标签：dp。

价值的定义显然是最长回文子序列。

所以可以直接区间 dp ，$f_{i,j,k}$ 表示区间 $[i,j]$ 修改 $k$ 次的最大值，直接转移，时间复杂度 $O(n^3)$。

code

---

打了 ABC252，赛时过了 FG，由于是 unr 所以前面的题没做，Ex 想半天不会，寄。

但 psz 赛时不会 FG 我是真没想到。

---

ABC252G *2153 $\color{green}\bigstar$

已知一个先序遍历，如果有多个儿子优先遍历编号小的，求有多少棵树满足这个先序遍历。

$n\le 500$。

标签：dp。

显然直接来，可以发现一个区间要么是一棵树，要么是多棵树，分别开 dp 数组 $f,g$，直接每次在前面加入一棵树就好了。

code

---

ABC252Ex *3015 $\color{Gold}\bigstar$

有 $n$ 个珠子，每个珠子有一个颜色和价值，现在需要每种颜色的珠子各选一个，总价值就是所有珠子价值的异或和，求所有方案总价值第 $k$ 大的价值是多少。

$n\le 70,v\le 2^{60}$。

标签：搜索，字典树。

这个 $70$ 有点离谱，因为不知道有啥算法是这个复杂度的。

考虑如果暴力搜索，那么复杂度就是 $\sum x_i=n,\prod x_i$ 的最大值，根据 powerful number 的相关知识，可以发现这个东西复杂度是 $3^{\frac{n}{3}}$。

然后直接 meet in the middle ，分成两部分，复杂度 $O(3^{\frac{n}{6}})$，把一半放到字典树上，然后查询第 $k$ 大。

一个做法是二分，复杂度 $3^{\frac{n}{6}}\log^2 v$ 爆炸。

有一个更好的做法，记录每个数在字典树上匹配哪一个节点，然后考虑这一位取什么，然后整体一起移动，这样复杂度 $O(3^{\frac{n}{6}})\log v$。

code

---

bzoj3509 $\color{blue}\bigstar$

已知一个长度为 $n$ 的数组 $a$，求有多少对 $(i,j,k),i<j<k$ 满足 $a_j-a_i=a_k-a_j$。

$n\le 10^5,a_i\le 2\times 10^4$。

标签：分块，卷积。

先把式子变一下，变成 $2a_j=a_i+a_k$，那么考虑枚举 $a_j$，此时相当于找左右有多少个满足条件的，显然可以直接卷积，但复杂度 $O(n^2\log n)$，不如暴力。

考虑和暴力平衡一下复杂度，考虑分块，对于 $i,j,k$ 都不在一块情况，直接对左右块进行卷积，然后中间统计答案即可。对于至少有一个和 $j$ 在同一块的情况，可以直接开桶暴力算，总时间复杂度 $O(\sqrt{n}(n+a_i\log a_i))$，FFT 常数比较大，适当把块长调大即可。

---

bzoj4403 $\color{green}\bigstar$

给定三个正整数 $N,L,R$，统计长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L$ 到 $R$ 之间的单调不降序列的数量。输出答案对$10^6+3$ 取模的结果。

$n,l,r\le 10^9$。

标签：组合，分治。

首先这个东西显然是一个插板法，考虑把每个数看成一个盒子，然后把数给放进去，可以得到答案是 $\binom{R-L+N}{R-L}$，然后相当于一个组合数前缀和，可以发现模数比较小，直接分治就好了。

code

---

bzoj3057 $\color{green}\bigstar$

定义一棵树是好的，当且仅当对于每个节点，它的左右儿子子树深度的差不超过 $1$。问有多少棵 $n$ 个节点的树是好的。

$n\le 3000$。

标签：dp。

考虑深度的范围，$f_i$ 表示深度为 $i$ 的树的最小节点树，$g_i$ 表示最大节点树，那么可以发现

$$f_i=f_{i-2}+f_{i-1}\\ g_i=2^i-1$$

两个都是 $2^n$ 级别的，所以最后的深度是 $\log n$ 级别的。

然后直接来，设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个点，深度为 $j$ 的的方案数，转移的时候枚举左子树大小即可，时间复杂度 $O(n^2\log n)$。

---

bzoj4881 $\color{blue}\bigstar$

已知一个排列，$p_i$ 表示 $(0,i)$ 到 $(1,p_i)$ 有一条线段，需要把线段分成两个集合，使得这两个集合中的线段两两不交，求方案数，

$n\le 10^5$。

标签：贪心。

线性做法，已经是 darkbzoj 上的最优解和最短解，目前没有找到另一种线性做法。

其实不是很难，考虑一个暴力做法，如果两条线段有交，那么就把这两条线段连一条边，最后相当于判断二分图方案数，这样暴力复杂度是 $O(n^2)$ 的。

考虑对于一个线段区间 $[l,r]$ 没有一条边连向外面，那么可以发现这个区间形成一个独立的二分图，设二分图个数为 $m$，那么答案就是 $2^m$。

现在只剩下判断无解的问题，也就是判断是否可以划分为两个集合，那么从左向右做，相当于两个上升子序列。

这个可以直接贪心，时间复杂度 $O(n)$。

code

---

bzoj4883 $\color{Gold}\bigstar$

有一个 $n\times m$ 的棋盘，要求每行至少放一个白棋，每列至少放一个黑棋，一个格子放棋子有一定代价，求最小代价。

$n\times m\le 10^5$。

标签：并查集。

这种棋盘问题一个经典的结论是考虑建出 $n+m$ 个点然后进行连边，那么可以发现答案一定是一个基环树森林，那么直接贪心并查集维护就好了。

code

---

bzoj4886 $\color{blue}\bigstar$

有 $n$ 张牌，正反面都写着数字，现在可以把这些卡片任意翻转，使得正面的数字两两不同，得分为反面数字之和，求最大得分。

$n\le 2\times 10^5$。

标签：贪心。

不错的题。

考虑直接连边，那么可以发现满足条件的联通块一定是树或者是基环树，直接贪心就好了。

code

---

bzoj4836 $\color{green}\bigstar$

定义运算 $*$ 表示：如果 $x<y$，$x*y=x+y$，否则， $x*y=x-y$。

已知两个序列 $a,b$，有 $Q$ 次询问，每次询问一个数 $c$，问有多少组 $a_i*b_j=c$。

所有数据都 $\le 50000$。

标签：卷积。

考虑如果是 $a_i+b_j=c$，那么显然是个卷积，但是这里有一个限制条件。

考虑分治，类似分治 fft，每次把 $a$ 中的一个区间和 $b$ 中一个更大的区间卷积，这样就可以了，减法也同理。

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$。

code

---

CF1220F $\color{green}\bigstar$ *2700

已知一个长度为 $n$ 的排列，可以进行若干次循环移位，求多少次移位后得到的序列建出的笛卡尔树深度最小。

$n\le 2\times 10^5$。

标签：单调栈，笛卡尔树。

有线段树做法，不过 too hard。

事实上直接来，考虑 $1$ 左边和右边是两个不干扰的部分，因此左边做一下，右边做一下，然后直接合并即可，解决的问题变成加点，查询深度，这个可以在单调栈建笛卡尔树是顺便维护。

code

---

CF338E $\color{green}\bigstar$ *2600

求 $A$ 有多少长度为 $len$ 的区 间中的数和 $B$ 中的数完美匹配。两个数匹配当且仅当其和不小于 h。 (区间必须连续)

$n,len\le 10^5$。

标签：线段树。

考虑先把 $b$ 排序，那么可以和 $a$ 中一个数匹配的一定是一段后缀，那么直接后缀加，可以发现满足条件需要满足 $a_i-i\ge 0$，这样双指针和线段树维护即可。

code

---

CF724E $\color{Gold}\bigstar$ *2900

题比较长，自己看吧。

标签：模拟网络流。

首先有一个网络流的做法就是建 $n$ 个点然后暴力连 $n^2$ 条边，直接爆炸，也没什么优化方法。

此时就有一种牛逼的算法：用 dp 模拟网络流。

考虑先变成最小割，然后就相当于要么割上面的，要么割下面的，如果割上面的还需要吧前面连过来的边都割了。

直接 dp，时间复杂度 $O(n^2)$。

code

---

CF722E $\color{blue}\bigstar$ *2900

有一个 $n\times m$ 的网格图，图中有 $k$ 个特殊点。 初始时你有一个权值 $s$，并且只能向下或向右走， 每经过一个特殊点会使得你的权值/2(向上取整)。 求从 $(1,1)$ 走到 $(n,m)$ 时拥有权值的期望(mod $10^9+7$)。

$n,m\le 10^5,k\le 2000$。

考虑每次除以 $2$，最多 $\log s$ 次就变成 $1$ 了，所以可以设 $f_{i,j}$ 表示走到第 $i$ 个关键点，经过了 $j$ 个关键点的方案数。

然后直接来，从前面去转移，注意容斥一下就好了。

code

---

CF1209G2 $\color{Gold}\bigstar$ *3200

题比较长，自己看吧

标签：线段树。

考虑一定是吧序列变成一段段区间，答案就是 $n$ 减去每个区间众数之和， G1 不带修，直接模拟就好了。

考虑用 set 去记录每个数出现的位置，然后区间加，那么相当于 $0$ 的位置就是断点，分开两个连续段。

每个数都直接在左端点放入出现的位置，然后去查询最大值，这样只需要比较左右的最小值就可以判断两区间合并时的情况。

具体而言，如果维护断点复杂度会爆炸，但是可以维护区间最小值，把最小值当做是断点，这样就可以轻松维护了。

code

---

CF472G $\color{blue}\bigstar$ *2800

题比较长，自己看吧。

标签：多项式，卷积，分块。

显然这个匹配可以写成一个卷积形式，但是是区间求和，很不好搞。

常见套路是直接分块，块内的和就可以直接维护了，本题需要一定的卡常技巧。

code

---

CF1553F $\color{green}\bigstar$ *2300

已知一个序列 $a$，定义 $p_k$ 表示

$$p_k=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k a_i\bmod a_j$$

对于每个 $i\in [1,n]$，求出 $p_i$。

$n,a_i\le 2\times 10^5$。

标签：树状数组。

考虑递推，那么相当于要计算

$$(\sum_{i=1}^{k-1} a_k\bmod a_i)+(\sum_{i=1}^{k-1} a_i \bmod a_k)$$

右边那个开桶，然后调和级数算，相当于单点加，区间查，直接树状数组。

左边的考虑一个数对后面的贡献，也就是区间加，单点查，也可以树状数组。

code

---

CF1615G $\color{blue}\bigstar$ *3300

给定一个数列 $a$，你需要将所有 $a_i=0$ 的位置填上一个 $1\sim n$ 的正整数，使得数列的「值」最大。

数列的值定义为满足以下条件的 $k*k$ 的个数：

• 存在 $i\in\Z[1,n-1]$，使得 $a_{i}=a_{i+1}=k$。

输出值最大的序列，若有多解，输出任意一个。

$0\le a\le \min(n,600),0<n\le 3\times 10^5$。

标签：一般图最大匹配。

考虑填数的这些 $0$ 的连续段进行讨论。

如果连续段长度为奇数，那么必然是填 $\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor$ 个相同数，然后剩下一个和左右的进行匹配。

如果连续段长度为偶数，那么就有两种情况，要么是填 $\frac{x}{2}$ 个相同数，要么左右各匹配一个然后填 $\frac{x}{2}-1$ 个数。

与左右匹配可以看成是一半图最大匹配，先对不同的数值建点。

• 如果是奇数，新建一个点，向左右的数连边。
• 如果是偶数，新建两个点，分别向左右连边，然后这两个点连边。

然后直接跑最大匹配，带花树会寄，用随机匹配。

随机匹配也就是把边随机顺序然后跑二分图，不过输出方案比较恶心。

code

---

CF1615F $\color{blue}\bigstar$ *2800

对于两个长度为 $n$ 的 $01$ 串 $s,t$ ，你可以对 $s$ 进行两种操作：把相邻两个 $0$ 变成 $1$ 或把相邻两个 $1$ 变成 $0$ ，定义 $s$ 到 $t$ 的距离为最少操作次数使得 $s$ 变成 $t$ ，如过没法变则距离为 $0$ 。

现在你有两个不完整的字符串，可以把其中的 $?$ 变成 $0$ 或 $1$ ，求所有情况所得到的两个 $01$ 串的距离之和。

$n\le 2000$。

标签：dp。

不错的题。

考虑把相邻两个相同的翻转很难搞，因为甚至是否有解也判断不了，所以考虑把所有奇数位置上的东西翻转，这样变成翻转相邻两个不同的，也就是交换相邻两个元素。

那么距离就是把所有 $1$ 的位置排序后对应元素差的绝对值了。

考虑 dp 设 $f_{i,j}$ 表示已经做完了 $[1,i]$，前面 $s$ 中的 $1$ 的个数比 $t$ 多 $j$ 个的方案数，那么统计 $[i,i+1]$ 这个部分对答案的贡献，也就是 $j\times f_{i,j}$，转移可以直接转移。

code

---

ARC102E $\color{green}\bigstar$ *2484

有 $n$ 个 $k$ 面骰子，求对于每个 $i$ ，求出有多少种骰子方案使得没有两个骰子上的数加起来等于 $i$。

$n,k\le 2000$。

标签：组合计数。

考虑对于一个 $i$ ，把所有数分成三类

• $x>i$ 可以乱选。
• $i$ 是偶数，$x=\frac{i}{2}$，最多选 $1$ 个。
• 其他情况，把 $x,i-x$ 分成一组，一组中只可以选其中一个。

直接计数即可。

code

---

打了 ABC253，开局秒了E，然后会了F，psz 给了我 ABCD，F 写了一会儿就过了，发现 G 是 sb 题，类似直接分块然后就好了，但细节很多，psz 去写，我先看 Ex，然后发现会了，找了 10min 矩阵树板子，终于找到了（还不如重写一遍），然后直接冲了一波，WA 了一下，结果发现是没取模。。。然后直接过了。

接下来帮 psz 调 G，然后过了。

第一次 AK ABC，非常开心，总用时 78 分钟。

---

ABC253Ex $\color{green}\bigstar$ *2758

有 $n$ 个点，$m$ 条边，每次随机加一条边（可以重复加），对于每个 $1\le k\le n-1$，求出有多少概率满足加入 $k$ 条边后图是一个森林，答案对 $998244353$ 取模。

$n\le 14,m\le 500$。

标签：矩阵树定理，状压 dp。

考虑枚举森林是怎么样的，然后假设里面有 $x$ 条边，概率就是 $\frac{x!}{m^x}$。

那么最后的森林是怎么样的呢？直接枚举一个连通块，求出这个连通块是一棵树的方案数，也就是生成树计数，直接矩阵树定理。

然后状压 dp 合并，统计答案即可，时间复杂度 $O(n^32^n+n3^n)$。

code

---

打 ARC141，晚 $50$ 分钟进场，unr，输麻了。

psz 过 A 之后去看注意开发表重要讲话，笑不活了，直接摆烂。

开局我直接冲 D。

这个 $2M$ 的条件明显是拿来匹配的，然后直接按 $2$ 的幂次分类即可，但是发现寄了。

那就按去掉 $2$ 之后的部分分类，可以发现每一个部分最多选一个，最多有 $m$ 个部分，可以判断无解。

所以就是每个部分选一个，按倍数关系建拓扑图，然后考虑一个点选 $2$ 的幂次。

显然，如果 $p$ 是 $q$ 的幂次，那么 $p$ 乘上 $2$ 的幂次一定小于 $q$，满足拓扑顺序。

想要满足条件，一个点选的幂次一定是一段区间，正反跑两边拓扑排序即可。

code

观察仔细，你会发现提交时间是 《2022-05-29 22:02:23》，是的，我差 2min 场切 *2800+，悲。

---

ARC141E $\color{blue}\bigstar$ *3009

有 $n^2$ 个点，每个点被表示为 $(i,j)$，有 $Q$ 次操作，每次操作把所有 $0\le k< n$，将 $(a_i+k,b_i+k)$ 向 $(c_i+k,d_i+k)$ 连边。

$n,Q\le 2\times 10^5$。

标签：并查集。

首先按 $i-j$ 把点分类，那么可以发现操作时机上就是两个组中的点对应连边。

如果这两组一开始不是一个连通块，那么直接连通块个数减少 $n-1$。

否则，计算这两个联通块的距离，然后相当于求个 $\gcd$ 即可。

这些都可以用并查集维护，然后就没了。

code

---