五月杂题选做（part 2）
上回说到：2022.5 part 1
关于难度
\(\color{gray}\bigstar\) 可以秒杀的题。
\(\color{green}\bigstar\) 思考一会儿后可以秒的题。
\(\color{blue}\bigstar\) 需要较长时间思考的题。
\(\color{Gold}\bigstar\) 看题解、稍加指点就会做的题。
\(\color{red}\bigstar\) 看题解后需要较长时间消化，甚至现在都没有完全理解的题。
ARC106D *1988 \(\color{green}\bigstar\)
已知一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\) 和一个数 \(k\)，对于所有 \(1\le X\le k\)，求
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n (a_i+a_j)^X \]答案对 \(998244353\) 取模。
\(n\le 2\times 10^5,k\le 300\)。
标签：组合。
直接二项式定理展开，推式子就好了。
可以发现是一个卷积，记 \(f_i=\sum_{j=1}^n \frac{a_j^i}{i!}\)，答案就可以直接卷积得到，暴力卷积即可，时间复杂度 \(O(k^2+nk)\)。
ARC113D *1389 \(\color{green}\bigstar\)
对于一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个元素都 \(1\le a_{i,j}\le k\)，定义 \(a_i\) 表示第 \(i\) 行的最小值，\(b_i\) 表示第 \(i\) 列的最小值，已知 \(n,m,k\)，求有多少个不同的 \((a,b)\)，答案对 \(998244353\) 取模。
\(n,m,k\le 2\times 10^5\)。
标签：计数。
最简单的一个 ARC D，但还是想了一会儿的。
考虑一个很简单的东西，就是 \(\max(a_i)\le \min(b)\) 这个东西可以很简单可以证明，然后可以发现，除非矩阵只有一行或一列，否则只要满足上面条件的 \((a,b)\) 都可以凑出。
所以答案就简单了，枚举 \(i=\max(a_i)\)，那么 \(a\) 的贡献可以直接容斥，就是 \((i^n-(i-1)^n)(k-i+1)^m\)，直接算即可。
ARC112D *2028 \(\color{green}\bigstar\)
有一个 \(n\times m\) 的滑雪场，每次可以朝一个方向滑行，如果是冰则直接通过，直到到达一块地面或者撞到边缘停下，现在有一些地方已经是地面，求至少要把多少个冰改成地面可以使一个人从 \((1,1)\) 出发可以到达所有点。
标签：模拟（？
考虑可以到达的点一定是一整行或者一整列的，然后一块地面就是可以从一行走到一列，那么可以直接并查集维护，最后的目标就是覆盖每一行或者每一列，直接找连通块个数即可。
ARC126D *2332 \(\color{green}\bigstar\)
有一个长度为 \(n\) 的序列，每个元素都 \(1\le a_i\le k\)，每次可以交换两个数，问至少多少次操作后满足有一个连续子序列是 \(\{1,2,3...k\}\)。
\(n\le 200,k\le 16\)。
标签：dp。
显然直接状压 dp，如果选了一个数，那么对答案的贡献就是选的数的逆序对个数加上到目标位置的距离，目标位置显然是移动到中位数，直接做就好了。
ARC139D *2816 \(\color{red}\bigstar\)
有一个长度为 \(n\) 的序列，进行 \(k\) 次操作，每次操作随机选择一个 \([1,m]\) 的数加入序列，然后把序列中第 \(x\) 小的数删除，求所有方案最后序列中的数之和的和。
\(n,m,x,k\le 2000\)。
标签：计数。
神题，主要是因为题解看不懂，所以想了很久。
所有数的和可以转化为对于每个 \(1\le i\le m\)，计算有多少个数 \(\ge i\) 即可。
开始时先找到 \(\ge i\) 的左端点，然后考虑这个左端点的移动，先考虑开始时在 \(x\) 右边，那么如果放 \([1,i-1]\)，那么位置不变，如果放 \([i,m]\)，那么就左移动一格，在 \(x\) 左边同理。
那么直接枚举左端点最后移动到了哪里，直接计算方案数即可。
AGC021D *2287 \(\color{green}\bigstar\)
定义一个字符串 \(s\) 的价值是它和它翻转后的串的最长公共子序列，现在已知一个串，进行最多 \(k\) 次修改操作，求修改后权值最大是多少。
\(|s|,k\le 300\)。
标签：dp。
价值的定义显然是最长回文子序列。
所以可以直接区间 dp ，\(f_{i,j,k}\) 表示区间 \([i,j]\) 修改 \(k\) 次的最大值，直接转移，时间复杂度 \(O(n^3)\)。
打了 ABC252，赛时过了 FG，由于是 unr 所以前面的题没做，Ex 想半天不会，寄。
但 psz 赛时不会 FG 我是真没想到。
ABC252G *2153 \(\color{green}\bigstar\)
已知一个先序遍历，如果有多个儿子优先遍历编号小的，求有多少棵树满足这个先序遍历。
\(n\le 500\)。
标签：dp。
显然直接来，可以发现一个区间要么是一棵树，要么是多棵树，分别开 dp 数组 \(f,g\)，直接每次在前面加入一棵树就好了。
ABC252Ex *3015 \(\color{Gold}\bigstar\)
有 \(n\) 个珠子，每个珠子有一个颜色和价值，现在需要每种颜色的珠子各选一个，总价值就是所有珠子价值的异或和，求所有方案总价值第 \(k\) 大的价值是多少。
\(n\le 70,v\le 2^{60}\)。
标签：搜索，字典树。
这个 \(70\) 有点离谱，因为不知道有啥算法是这个复杂度的。
考虑如果暴力搜索，那么复杂度就是 \(\sum x_i=n,\prod x_i\) 的最大值，根据 powerful number 的相关知识，可以发现这个东西复杂度是 \(3^{\frac{n}{3}}\)。
然后直接 meet in the middle ，分成两部分，复杂度 \(O(3^{\frac{n}{6}})\)，把一半放到字典树上，然后查询第 \(k\) 大。
一个做法是二分，复杂度 \(3^{\frac{n}{6}}\log^2 v\) 爆炸。
有一个更好的做法，记录每个数在字典树上匹配哪一个节点，然后考虑这一位取什么，然后整体一起移动，这样复杂度 \(O(3^{\frac{n}{6}})\log v\)。
bzoj3509 \(\color{blue}\bigstar\)
已知一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，求有多少对 \((i,j,k),i<j<k\) 满足 \(a_j-a_i=a_k-a_j\)。
\(n\le 10^5,a_i\le 2\times 10^4\)。
标签：分块，卷积。
先把式子变一下，变成 \(2a_j=a_i+a_k\)，那么考虑枚举 \(a_j\)，此时相当于找左右有多少个满足条件的，显然可以直接卷积，但复杂度 \(O(n^2\log n)\)，不如暴力。
考虑和暴力平衡一下复杂度，考虑分块，对于 \(i,j,k\) 都不在一块情况，直接对左右块进行卷积，然后中间统计答案即可。对于至少有一个和 \(j\) 在同一块的情况，可以直接开桶暴力算，总时间复杂度 \(O(\sqrt{n}(n+a_i\log a_i))\)，FFT 常数比较大，适当把块长调大即可。
bzoj4403 \(\color{green}\bigstar\)
给定三个正整数 \(N,L,R\)，统计长度在 \(1\) 到 \(N\) 之间，元素大小都在 \(L\) 到 \(R\) 之间的单调不降序列的数量。输出答案对\(10^6+3\) 取模的结果。
\(n,l,r\le 10^9\)。
标签：组合，分治。
首先这个东西显然是一个插板法，考虑把每个数看成一个盒子，然后把数给放进去，可以得到答案是 \(\binom{R-L+N}{R-L}\)，然后相当于一个组合数前缀和，可以发现模数比较小，直接分治就好了。
bzoj3057 \(\color{green}\bigstar\)
定义一棵树是好的，当且仅当对于每个节点，它的左右儿子子树深度的差不超过 \(1\)。问有多少棵 \(n\) 个节点的树是好的。
\(n\le 3000\)。
标签：dp。
考虑深度的范围，\(f_i\) 表示深度为 \(i\) 的树的最小节点树，\(g_i\) 表示最大节点树，那么可以发现
两个都是 \(2^n\) 级别的，所以最后的深度是 \(\log n\) 级别的。
然后直接来，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个点，深度为 \(j\) 的的方案数，转移的时候枚举左子树大小即可，时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。
bzoj4881 \(\color{blue}\bigstar\)
已知一个排列，\(p_i\) 表示 \((0,i)\) 到 \((1,p_i)\) 有一条线段，需要把线段分成两个集合，使得这两个集合中的线段两两不交，求方案数，
\(n\le 10^5\)。
标签：贪心。
线性做法，已经是 darkbzoj 上的最优解和最短解，目前没有找到另一种线性做法。
其实不是很难，考虑一个暴力做法，如果两条线段有交，那么就把这两条线段连一条边，最后相当于判断二分图方案数，这样暴力复杂度是 \(O(n^2)\) 的。
考虑对于一个线段区间 \([l,r]\) 没有一条边连向外面，那么可以发现这个区间形成一个独立的二分图，设二分图个数为 \(m\)，那么答案就是 \(2^m\)。
现在只剩下判断无解的问题，也就是判断是否可以划分为两个集合，那么从左向右做，相当于两个上升子序列。
这个可以直接贪心，时间复杂度 \(O(n)\)。
bzoj4883 \(\color{Gold}\bigstar\)
有一个 \(n\times m\) 的棋盘，要求每行至少放一个白棋，每列至少放一个黑棋，一个格子放棋子有一定代价，求最小代价。
\(n\times m\le 10^5\)。
标签：并查集。
这种棋盘问题一个经典的结论是考虑建出 \(n+m\) 个点然后进行连边，那么可以发现答案一定是一个基环树森林，那么直接贪心并查集维护就好了。
bzoj4886 \(\color{blue}\bigstar\)
有 \(n\) 张牌，正反面都写着数字，现在可以把这些卡片任意翻转，使得正面的数字两两不同，得分为反面数字之和，求最大得分。
\(n\le 2\times 10^5\)。
标签：贪心。
不错的题。
考虑直接连边，那么可以发现满足条件的联通块一定是树或者是基环树，直接贪心就好了。
bzoj4836 \(\color{green}\bigstar\)
定义运算 \(*\) 表示：如果 \(x<y\)，\(x*y=x+y\)，否则， \(x*y=x-y\)。
已知两个序列 \(a,b\)，有 \(Q\) 次询问，每次询问一个数 \(c\)，问有多少组 \(a_i*b_j=c\)。
所有数据都 \(\le 50000\)。
标签：卷积。
考虑如果是 \(a_i+b_j=c\)，那么显然是个卷积，但是这里有一个限制条件。
考虑分治，类似分治 fft，每次把 \(a\) 中的一个区间和 \(b\) 中一个更大的区间卷积，这样就可以了，减法也同理。
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
CF1220F \(\color{green}\bigstar\) *2700
已知一个长度为 \(n\) 的排列，可以进行若干次循环移位，求多少次移位后得到的序列建出的笛卡尔树深度最小。
\(n\le 2\times 10^5\)。
标签：单调栈，笛卡尔树。
有线段树做法，不过 too hard。
事实上直接来，考虑 \(1\) 左边和右边是两个不干扰的部分，因此左边做一下，右边做一下，然后直接合并即可，解决的问题变成加点，查询深度，这个可以在单调栈建笛卡尔树是顺便维护。
CF338E \(\color{green}\bigstar\) *2600
求 \(A\) 有多少长度为 \(len\) 的区 间中的数和 \(B\) 中的数完美匹配。两个数匹配当且仅当其和不小于 h。 (区间必须连续)
\(n,len\le 10^5\)。
标签：线段树。
考虑先把 \(b\) 排序，那么可以和 \(a\) 中一个数匹配的一定是一段后缀，那么直接后缀加，可以发现满足条件需要满足 \(a_i-i\ge 0\)，这样双指针和线段树维护即可。
CF724E \(\color{Gold}\bigstar\) *2900
题比较长，自己看吧。
标签：模拟网络流。
首先有一个网络流的做法就是建 \(n\) 个点然后暴力连 \(n^2\) 条边，直接爆炸，也没什么优化方法。
此时就有一种牛逼的算法：用 dp 模拟网络流。
考虑先变成最小割，然后就相当于要么割上面的，要么割下面的，如果割上面的还需要吧前面连过来的边都割了。
直接 dp，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
CF722E \(\color{blue}\bigstar\) *2900
有一个 \(n\times m\) 的网格图，图中有 \(k\) 个特殊点。 初始时你有一个权值 \(s\)，并且只能向下或向右走， 每经过一个特殊点会使得你的权值/2(向上取整)。 求从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\) 时拥有权值的期望(mod \(10^9+7\))。
\(n,m\le 10^5,k\le 2000\)。
考虑每次除以 \(2\)，最多 \(\log s\) 次就变成 \(1\) 了，所以可以设 \(f_{i,j}\) 表示走到第 \(i\) 个关键点，经过了 \(j\) 个关键点的方案数。
然后直接来，从前面去转移，注意容斥一下就好了。
CF1209G2 \(\color{Gold}\bigstar\) *3200
题比较长，自己看吧
标签：线段树。
考虑一定是吧序列变成一段段区间，答案就是 \(n\) 减去每个区间众数之和， G1 不带修，直接模拟就好了。
考虑用 set 去记录每个数出现的位置，然后区间加，那么相当于 \(0\) 的位置就是断点，分开两个连续段。
每个数都直接在左端点放入出现的位置，然后去查询最大值，这样只需要比较左右的最小值就可以判断两区间合并时的情况。
具体而言，如果维护断点复杂度会爆炸，但是可以维护区间最小值，把最小值当做是断点，这样就可以轻松维护了。
CF472G \(\color{blue}\bigstar\) *2800
题比较长，自己看吧。
标签：多项式，卷积，分块。
显然这个匹配可以写成一个卷积形式，但是是区间求和，很不好搞。
常见套路是直接分块，块内的和就可以直接维护了，本题需要一定的卡常技巧。
CF1553F \(\color{green}\bigstar\) *2300
已知一个序列 \(a\)，定义 \(p_k\) 表示
\[p_k=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k a_i\bmod a_j \]对于每个 \(i\in [1,n]\)，求出 \(p_i\)。
\(n,a_i\le 2\times 10^5\)。
标签：树状数组。
考虑递推，那么相当于要计算
右边那个开桶，然后调和级数算，相当于单点加，区间查，直接树状数组。
左边的考虑一个数对后面的贡献，也就是区间加，单点查，也可以树状数组。
CF1615G \(\color{blue}\bigstar\) *3300
给定一个数列 \(a\)，你需要将所有 \(a_i=0\) 的位置填上一个 \(1\sim n\) 的正整数，使得数列的「值」最大。
数列的值定义为满足以下条件的 \(k*k\) 的个数：
- 存在 \(i\in\Z[1,n-1]\)，使得 \(a_{i}=a_{i+1}=k\)。
输出值最大的序列，若有多解，输出任意一个。
\(0\le a\le \min(n,600),0<n\le 3\times 10^5\)。
标签：一般图最大匹配。
考虑填数的这些 \(0\) 的连续段进行讨论。
如果连续段长度为奇数，那么必然是填 \(\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor\) 个相同数，然后剩下一个和左右的进行匹配。
如果连续段长度为偶数，那么就有两种情况，要么是填 \(\frac{x}{2}\) 个相同数，要么左右各匹配一个然后填 \(\frac{x}{2}-1\) 个数。
与左右匹配可以看成是一半图最大匹配，先对不同的数值建点。
- 如果是奇数，新建一个点，向左右的数连边。
- 如果是偶数，新建两个点，分别向左右连边，然后这两个点连边。
然后直接跑最大匹配，带花树会寄，用随机匹配。
随机匹配也就是把边随机顺序然后跑二分图，不过输出方案比较恶心。
CF1615F \(\color{blue}\bigstar\) *2800
对于两个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串 \(s,t\) ，你可以对 \(s\) 进行两种操作：把相邻两个 \(0\) 变成 \(1\) 或把相邻两个 \(1\) 变成 \(0\) ，定义 \(s\) 到 \(t\) 的距离为最少操作次数使得 \(s\) 变成 \(t\) ，如过没法变则距离为 \(0\) 。
现在你有两个不完整的字符串，可以把其中的 \(?\) 变成 \(0\) 或 \(1\) ，求所有情况所得到的两个 \(01\) 串的距离之和。
\(n\le 2000\)。
标签：dp。
不错的题。
考虑把相邻两个相同的翻转很难搞，因为甚至是否有解也判断不了，所以考虑把所有奇数位置上的东西翻转，这样变成翻转相邻两个不同的，也就是交换相邻两个元素。
那么距离就是把所有 \(1\) 的位置排序后对应元素差的绝对值了。
考虑 dp 设 \(f_{i,j}\) 表示已经做完了 \([1,i]\)，前面 \(s\) 中的 \(1\) 的个数比 \(t\) 多 \(j\) 个的方案数，那么统计 \([i,i+1]\) 这个部分对答案的贡献，也就是 \(j\times f_{i,j}\)，转移可以直接转移。
ARC102E \(\color{green}\bigstar\) *2484
有 \(n\) 个 \(k\) 面骰子，求对于每个 \(i\) ，求出有多少种骰子方案使得没有两个骰子上的数加起来等于 \(i\)。
\(n,k\le 2000\)。
标签：组合计数。
考虑对于一个 \(i\) ，把所有数分成三类
- \(x>i\) 可以乱选。
- \(i\) 是偶数，\(x=\frac{i}{2}\)，最多选 \(1\) 个。
- 其他情况，把 \(x,i-x\) 分成一组，一组中只可以选其中一个。
直接计数即可。
打了 ABC253，开局秒了E，然后会了F，psz 给了我 ABCD，F 写了一会儿就过了，发现 G 是 sb 题，类似直接分块然后就好了，但细节很多，psz 去写，我先看 Ex，然后发现会了，找了 10min 矩阵树板子，终于找到了（还不如重写一遍），然后直接冲了一波，WA 了一下，结果发现是没取模。。。然后直接过了。
接下来帮 psz 调 G，然后过了。
第一次 AK ABC，非常开心，总用时 78 分钟。
ABC253Ex \(\color{green}\bigstar\) *2758
有 \(n\) 个点，\(m\) 条边，每次随机加一条边（可以重复加），对于每个 \(1\le k\le n-1\)，求出有多少概率满足加入 \(k\) 条边后图是一个森林，答案对 \(998244353\) 取模。
\(n\le 14,m\le 500\)。
标签：矩阵树定理，状压 dp。
考虑枚举森林是怎么样的，然后假设里面有 \(x\) 条边，概率就是 \(\frac{x!}{m^x}\)。
那么最后的森林是怎么样的呢？直接枚举一个连通块，求出这个连通块是一棵树的方案数，也就是生成树计数，直接矩阵树定理。
然后状压 dp 合并，统计答案即可，时间复杂度 \(O(n^32^n+n3^n)\)。
打 ARC141，晚 \(50\) 分钟进场，unr，输麻了。
psz 过 A 之后去看注意开发表重要讲话，笑不活了，直接摆烂。
开局我直接冲 D。
这个 \(2M\) 的条件明显是拿来匹配的，然后直接按 \(2\) 的幂次分类即可，但是发现寄了。
那就按去掉 \(2\) 之后的部分分类，可以发现每一个部分最多选一个，最多有 \(m\) 个部分，可以判断无解。
所以就是每个部分选一个，按倍数关系建拓扑图，然后考虑一个点选 \(2\) 的幂次。
显然，如果 \(p\) 是 \(q\) 的幂次，那么 \(p\) 乘上 \(2\) 的幂次一定小于 \(q\)，满足拓扑顺序。
想要满足条件，一个点选的幂次一定是一段区间，正反跑两边拓扑排序即可。
观察仔细，你会发现提交时间是 《2022-05-29 22:02:23》，是的，我差 2min 场切 *2800+，悲。
ARC141E \(\color{blue}\bigstar\) *3009
有 \(n^2\) 个点，每个点被表示为 \((i,j)\)，有 \(Q\) 次操作，每次操作把所有 \(0\le k< n\)，将 \((a_i+k,b_i+k)\) 向 \((c_i+k,d_i+k)\) 连边。
\(n,Q\le 2\times 10^5\)。
标签：并查集。
首先按 \(i-j\) 把点分类，那么可以发现操作时机上就是两个组中的点对应连边。
如果这两组一开始不是一个连通块，那么直接连通块个数减少 \(n-1\)。
否则，计算这两个联通块的距离，然后相当于求个 \(\gcd\) 即可。
这些都可以用并查集维护，然后就没了。
