虚树学习笔记
虚树一般解决树上询问一些节点的问题。
通过一个例题来认识：
有一棵 \(n\) 个节点的树，边有边权，断掉一条边的代价就是边权，有 \(Q\) 次询问，每次给出 \(k_i\) 个重要点，每次求出通过断边使得任意一个重要点都与 \(1\) 号节点不连通的最小代价。
\(n\le 2.5\times 10^5,\sum k_i\le 5\times 10^5\)。
经典题。
先考虑 \(Q=1\) 的情况，显然是一个树形 dp，设 \(f_{i}\) 表示 \(i\) 子树中通过断边使得 \(i\) 所在联通块中没有重要点的最小代价，容易得到状态转移方程：
其中 \(w_i\) 表示边权，如果 \(x\) 是关键点，\(f_x\) 为正无穷。
然后考虑多次询问咋做。
先考虑一条链的情况，比如下图：
如果 \(x,y\) 中间都不是重要点，那么实际上断开的代价就是 \(x\) 到 \(y\) 路径上边权最小值。
如果 \(x\) 不是重要点，那么就可以直接由 \(y\) 转移。
推广到树上，我们发现有很多点可以不用 dp。
具体来说，只需要把重要点和它们的 LCA，拿出来，根据原树上的关系进行连边，边权就是链上边权最小值，这样建出的树的 dp 答案与原树相同。
证明较简单，因为任意两点间都是没有重要点的链，所以上面的点可以删去。
这样建出的树就是虚树，可以通过下面建虚树的算法可知，虚树的点数是 \(O(k_i)\) 级别的，可以通过。
然后考虑咋建出虚树。
先把点按 dfs 序排序，从小到大加入，维护一个栈，开始时，先把 \(1\) 进栈，栈维护一条链。
如果当前点在栈顶的子树内，直接连边即可，然后入栈。
否则考虑如下图：
黑色是栈中的点，红色是新加入的点。
所以找到第一个是红色节点祖先的黑色节点，然后把它下一个点与红色节点的 LCA 求出，直接连边即可。
注意特判 LCA 在栈中的情况。
然后把下面的点全部弹出，红色节点和 LCA 入栈，形成新的链。
一直做下去即可，最后得到一棵树，边权可以直接倍增做，直接 dp 即可，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
