构造题做题记录

构造题一个很显著的特点就是高自由度，也就是说一道题的构造方式可能有很多种，但是会有一种较为简单的构造方式满足题意。看起来是放宽了要求，让题目变的简单了，但很多时候，正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手。
构造题另一个特点就是形式灵活，变化多样。并不存在一个通用解法或套路可以解决所有构造题，甚至很难找出解题思路的共性。

以上内容来自 oi-wiki。

最近发现随便一个 CF *2000 的构造我都不会做了，所以开了个坑。

关于难度

$\color{gray}\bigstar$ 可以秒杀的题。

$\color{green}\bigstar$ 思考一会儿后可以秒的题。

$\color{blue}\bigstar$ 需要较长时间思考的题。

$\color{Gold}\bigstar$ 看题解、稍加指点就会做的题。

$\color{red}\bigstar$ 看题解后需要较长时间消化，甚至现在都没有完全理解的题。

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CF1276C *2300 $\color{green}\bigstar$

我们称一个矩阵是美丽的，当且仅当该这矩阵中不存在两个相同的数在同一列或在同一行。
给定 $n$ 个数，要求你选出尽量多的数，使它们能够组成一个美丽的矩形。
构造方案，$n\le 4\times 10^5$。

考虑如果只填一种数，咋填可以满足条件。

显然斜着填是一种很好的方式。

考虑斜着一个数最多能放多少个，于矩形的宽有关。

矩形的宽 $\le \sqrt{n}$ ，所以可以枚举。

假设当前宽为 $m$ ，那么最多能放 $\sum min(cnt_i,m)$ 个数，$cnt_i$ 表示 $i$ 的出现次数。

找个最大值，现在考虑构造方案。

一个简单的想法是这样构造：

相同的数相邻放，这样很优，而且一定可以填满。

但这样会有一个问题了，如果有一个数出现 $m$ 次，那么会出现这种情况：

这样会有一列有两个相同的数。

咋处理呢？很简单，把出现 $m$ 次的数全部放最前面，这样就不会有一个数字被拆到两条斜线上的情况

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CF1552E *2300 $\color{Gold}\bigstar$

$n\times k$ 个格子，编号从 $1$ 到 $n \times k$，染成 $n$ 种颜色，每种颜色恰好 $k$ 个。
构造 $n$ 个区间，第 $i$ 个区间 $[a_i, b_i]$
满足 $1 \le a_i < b_i \le n \times k$.
第 $a_i$ 个和第 $b_i$ 个格子的颜色都是 $i$。
每个格子被包含不超过 $\lceil \frac{n}{k-1} \rceil$ 次。
$n,k\le 100$

考虑每个格子不超过 $\lceil \frac{n}{k-1} \rceil$，那么把 $k-1$ 中颜色变成一组，那么相当于对于每组来说每个格子最多覆盖一次。

考虑贪心，如果一个格子可以与前面匹配，那么必然匹配，这样对后面的贡献最优，然后把已经被覆盖的格子向后跳即可。

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ARC138D *2083 $\color{gold}\bigstar$

已知 $n$ 和 $k$ ，求构造一个 $0...2^n-1$ 的排列，使得相邻两数异或值的二进制位上有 $k$ 个 $1$。
$n,k\le 18$。

这题评分不应该这么低啊。有原题，所以场上大部分通过此题的都是中国人。。

其实还是很好的一个题，考虑 $k=1$ 时是个经典的东西 格雷码，可以直接构造。

如果 $k$ 是偶数或者 $k>n$ 显然无解。

考虑格雷码每次操作使得每两个相邻的值相差一位，那么只需要把这个一位换成 $k$ 位二进制数即可，一个思路是把所有二进制位上有 $k$ 个 $1$ 的数拿出来。

由于需要构造出 $0..2^n-1$，可以发现线性基中的数恰好可以凑出所有的数。

所以先跑一边格雷码，然后把线性基中的数记录一下，格雷码上一个 $1$ 就表示异或上线性基中第几个数即可。

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