exLucas 学习笔记

exLucas

已知 \(n,m,P\)，求 \(\binom{n}{m} \mod P\)。

与普通 Lucas 不同的是 \(p\) 不一定是质数。

先考虑把 \(P\) 拆成 \(p_1^{k_1}p_2^{k_2}...\) 形式，这样只需要对每个 \(p_i^{k_i}\) 求解后用中国剩余定理合并就好了。

所以求 \(\binom{n}{m} \mod p_i^{k_i}\)。

不能直接求逆元，因为 \(m!\) 可能是 \(p_i\) 的倍数，找不到逆元。

所以需要把上下的 \(p_i\) 除掉，变成

\[\frac{\frac{n!}{p_i^a}}{\frac{m!}{p_i^b}\frac{(n-m)!}{p_i^c}} p_i^{a-b-c}\mod p_i^{k_i} \]

这样就可以直接做了。

那么咋化成这样呢？

以 \(n!\) 为例。

\(1\times 2\times 3\times ...\times n \mod p_i^{k_i}\)

把所有含有 \(p_i\) 的拿出来。

\(p_i^{\left\lfloor \frac{n}{p_i} \right\rfloor}\times (1\times 2\times 3...\times \left\lfloor \frac{n}{p_i} \right\rfloor)\times (1\times 2\times ...\times (p_i-1)\times (p_i+1)...\times n)\mod p_i^{k_i}\)

把后面的化简一下。

\(p_i^{\left\lfloor \frac{n}{p_i} \right\rfloor}\times \left\lfloor \frac{n}{p_i} \right\rfloor! \times (1\times 2\times ...\times (p_i-1)\times (p_i+1)...(p_i^{k_i}-1))^{\left\lfloor \frac{n}{p_i^{k_i}} \right\rfloor}\times (1\times 2\times 3...\times (n\mod p_i^{k_i})) \mod p_i^{k_i}\)。

把后面去掉 \(p_i\) 倍数的阶乘预处理一下，然后就可以递归做了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int jie[1000005];
int kuai(int a,int b,int mod){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)ans=1ll*a*ans%mod;
	return ans;
}
pair<int,int> L(int n,int p,int P){
	if(!n)return make_pair(0,1);
	pair<int,int> t=L(n/p,p,P);
	return make_pair(t.first+n/p,1ll*t.second*kuai(jie[P-1],n/P,P)%P*jie[n%P]%P);
}
void exgcd(int a,int b,int &k,int &x,int &y){
	if(b==0){x=1;y=0;k=a;return;}
	exgcd(b,a%b,k,y,x);
	y-=(a/b*x);
}
int a1,a2,n1,n2,a[1000],np[1000],tot;
void china(){
	int d=a2-a1,k,x,y;
	exgcd(n1,n2,k,x,y);
	x=((x*d/k)%(n2/k)+(n2/k))%(n2/k),a1=x*n1+a1,n1=(n1*n2)/k;
}
int china1(){
	a1=a[1],n1=np[1];
	for(int i=2;i<=tot;i++){
		a2=a[i],n2=np[i];
		china();
	}
	return a1;
}
int n,m,mod;
int phi(int p,int s){
	int ans=p-1;
	for(int i=2;i<=s;i++)ans=ans*p;
	return ans;
}
void work(int i,int P,int s){
	jie[0]=1;
	for(int j=1;j<=P;j++)if(j%i==0)jie[j]=jie[j-1];else jie[j]=1ll*jie[j-1]*j%P;
	pair<int,int> t1=L(n,i,P),t2=L(m,i,P),t3=L(n-m,i,P);
	t1.first-=t2.first+t3.first;
	int Phi=phi(i,s);
	np[++tot]=P,a[tot]=1ll*t1.second*kuai(t2.second,Phi-1,P)%P*kuai(t3.second,Phi-1,P)%P*kuai(i,t1.first,P)%P;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
	for(int i=2;i*i<=mod;i++){
		int s=0,P=1;
		while(mod%i==0)mod/=i,s++,P*=i;
		if(s)work(i,P,s);
	}
	if(mod>1)work(mod,mod,1);
	printf("%lld",china1());
}