深度学习中Xavier初始化

“Xavier”初始化方法是一种很有效的神经网络初始化方法，方法来源于2010年的一篇论文《Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks》。

文章主要的目标就是使得每一层输出的方差应该尽量相等。下面进行推导：每一层的权重应该满足哪种条件才能实现这个目标。

和方差相关的定理

假设有随机变量x和w，它们都服从均值为0，方差为σ的分布，且独立同分布，那么：

• wx就会服从均值为0，方差为σσ的分布
• wx+wx就会服从均值为0，方差为2σσ的分布

文章实验用的激活函数是tanh激活函数，函数形状如下左图，右图是其导数的函数形状。

从上图可以看出，当x处于0附近时，其导数/斜率接近与1，可以近似将其看成一个线性函数，即f(x)=x。

假设输入数据的均值为o，方差为\(\delta_x\)，如果第一层是卷基层，卷基层共n个参数，\(n=C*k_h*k_w\)，于是有：

\[z_j= \sum_{i}^{n}{w_i*x_i} \]

其中，忽略偏置b

假设x和w是独立同分布，则\(Var(z)=n*\delta_x*\delta_w\)，为了更好地表达，将层号放在变量上标处：

\[\delta_x^2=n^1*\delta_x^1*\delta_w^1 \]

全连接和卷积层都可以看做是n个参数的线性变换，进而有：\(\delta_x^3=n^2*\delta_x^2*\delta_w^2\)，如果k层的网络，有：

\[\delta_x^k=n^{k-1}*\delta_x^{k-1}*\delta_w^{k-1} =n^{k-1}*n^{k-2}*\delta_x^{k-2}*\delta_w^{k-2}*\delta_w^{k-1} =\delta_x^1*\prod_{i=1}^{k-1}{(n^i*\delta_w^i)}\]

从上式中可以看出，后面的连乘是很危险的，如果\(n^i*\delta_w^i\)总是大于1，最后的方差为越来越大；如果乘机小于1，最后的方差就越来越小。所以我们回头再看第一个公式：

\[\delta_x^2=n^1*\delta_x^1*\delta_w^1 \]

如果满足\(\delta_x^2=\delta_x^1\)，即保证输出方差和输出方差一直便可以避免上述问题，得到：

\[\delta_w^1=\frac{1}{n^1} \]

对于任意一层i,应该满足：

\[\delta_w^i=\frac{1}{n^i} \]

\(n^i\)是w参数的输入层。

反向传播的情况

假设第k层的梯度为\(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_j^k}}\)，对于第k-1层，有：

\[\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_j^{k-1}}} = \sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_i^k}}*w_j^{ki}} \]

这里的参数n表示的是输出端的数目。

如果每层的方差服从均值为o，方差为某值的分布，有：

\[Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_j^{k-1}}})= n^k*Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_i^k}})*\delta_w^k\]

对于k层的网络，可以推导得到：

\[Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_j^{1}}} =Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_i^k}})* \prod_{2}^{k}{(n^i*\delta_w^i)} \]

上式的连乘同样危险，所以我们取\(Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_j^{k-1}}}) = Var(\frac{\partial{Loss}}{\partial{x_i^k}})\)
故：

\[\delta_w^k = \frac{1}{n^k} \]

这里的n表示输出的维度。

为了均衡考虑，我们设置方差应该满足

\[\delta_w^k=\frac{2}{n^k+n^{k+1}} \]

实际应用

论文提出使用均匀分布进行初始化，我们设定权重要初始化的范围是[-a,a]。而均匀分布的方差为:

\[Var(uniform)=\frac{(a-(-a))^2}{12}=\frac{a^2}{3}=\delta_w^k \]

所以：

\[a=\sqrt{\frac{6}{n^k+n^{k+1}}} \]

这就是xavier初始化方法，即把参数初始化成下面范围内的均匀分布：

\[[-\sqrt{\frac{6}{n^k+n^{k+1}}}, \sqrt{\frac{6}{n^k+n^{k+1}}}] \]