P4449 于神之怒加强版 （题解）

题目链接P4449 于神之怒加强版

题目大意：求

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j{)}^k$$

$\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{范}\mathrm{围}n,m\le 5e6$
$\mathrm{二}\mathrm{话}\mathrm{不}\mathrm{说}，\mathrm{先}\mathrm{开}\mathrm{导}\mathrm{式}\mathrm{子}(\mathrm{假}\mathrm{定}n<m)：$
$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j{)}^k\end{array}$$

$$\mathrm{先}\mathrm{套}\mathrm{路}\mathrm{地}\mathrm{枚}\mathrm{举}d=gcd(i,j)$$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d=1}^n{d}^k(d=gcd(i,j))\end{array}$$

$$\mathrm{把}i,j\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{除}\mathrm{一}\mathrm{个}d\mathrm{得}\mathrm{到}$$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }{d}^k(gcd(i,j)=1)\\ ans& =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }{d}^k\sum _{e|gcd(i,j)}u(e)\\ ans& =\sum _{d=1}^n\sum _{e=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\lfloor \frac{n}{de}\rfloor \lfloor \frac{m}{de}\rfloor d^{k}u(e)\end{array}$$

$$\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{化}\mathrm{到}\mathrm{这}\mathrm{里}\mathrm{你}\mathrm{就}\mathrm{已}\mathrm{经}\mathrm{成}\mathrm{功}\mathrm{了}\mathrm{十}\mathrm{分}\mathrm{之}\mathrm{一}\mathrm{了}，\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{的}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{是}n\sqrt{n}\mathrm{的}，\mathrm{距}\mathrm{离}5e6\mathrm{的}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{还}\mathrm{差}\mathrm{很}\mathrm{多}$$

$$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{此}\mathrm{处}\mathrm{再}\mathrm{次}\mathrm{套}\mathrm{路}\mathrm{的}\mathrm{使}T=de\mathrm{并}\mathrm{改}\mathrm{为}\mathrm{枚}\mathrm{举}T,\mathrm{则}\mathrm{有}$$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{T=1}^n\sum _{d|T}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor d^{k}u(\frac{T}{d})\end{array}$$

$$\mathrm{换}\mathrm{一}\mathrm{下}\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{顺}\mathrm{序}，\mathrm{把}d\mathrm{的}\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{放}\mathrm{到}\mathrm{后}\mathrm{面}$$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum _{d|T}{d}^{k}u(\frac{T}{d})\end{array}$$

$$\mathrm{这}\mathrm{时}\mathrm{候}\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{就}\mathrm{顺}\mathrm{眼}\mathrm{多}\mathrm{了}，\mathrm{前}\mathrm{面}\mathrm{那}\mathrm{个}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{用}\mathrm{除}\mathrm{法}\mathrm{分}\mathrm{块}\mathrm{在}\sqrt{n}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{内}\mathrm{算}\mathrm{出}，\mathrm{这}\mathrm{时}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{后}\mathrm{面}\mathrm{那}\mathrm{一}\mathrm{坨}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}$$

$$\mathrm{首}\mathrm{先}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{的}\mathrm{是}f(d)=d^k\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}，u(d)\mathrm{更}\mathrm{毋}\mathrm{庸}\mathrm{置}\mathrm{疑}，\mathrm{两}\mathrm{大}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{相}\mathrm{乘}，\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{也}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{是}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}$$

$$\mathrm{假}\mathrm{定}g(T)=\sum _{d|T}{d}^{k}u(\frac{T}{d})\mathrm{那}\mathrm{现}\mathrm{在}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{来}\mathrm{了}，\mathrm{怎}\mathrm{么}\mathrm{去}\mathrm{利}\mathrm{用}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{筛}\mathrm{去}\mathrm{筛}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}$$

$$\mathrm{先}\mathrm{单}\mathrm{独}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}，\mathrm{易}\mathrm{知}g(a\ast b)=g(a)\ast g(b)(gcd(a,b)=1)$$

$$\mathrm{再}\mathrm{单}\mathrm{独}\mathrm{去}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{些}\mathrm{性}\mathrm{质}：$$

$$\mathrm{首}\mathrm{先}\mathrm{在}x\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}\mathrm{时}g(x)=\sum _{d|x}{d}^{k}u(\frac{x}{d})\mathrm{中}\mathrm{的}d\mathrm{既}\mathrm{然}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{整}\mathrm{除}x，\mathrm{所}\mathrm{以}d\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{只}\mathrm{能}\mathrm{取}1\mathrm{或}x$$

$$\mathrm{首}\mathrm{先}d=1\mathrm{时}，g(x)=1^k\ast u(x)=u(x)=-1$$

$$\mathrm{其}\mathrm{次}d=x\mathrm{时}，g(x)=x^k\ast u(1)=x^k\ast 1=x^k$$

$$\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{即}\mathrm{为}g(x)=x^k-1(x\in prime)$$

$$\mathrm{先}\mathrm{导}\mathrm{出}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{结}\mathrm{论}：g(p^{x+1})=?(p\in prime),\mathrm{开}\mathrm{导}！$$

$$\begin{array}{r}\mathrm{设}op=p^{x+1},\mathrm{则}\mathrm{有}\\ g(op)=\sum _{d|op}{d}^{k}u(\frac{op}{d})\end{array}$$

$$\mathrm{因}\mathrm{为}op\mathrm{必}\mathrm{然}\mathrm{含}\mathrm{有}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{因}\mathrm{子}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}d=p^{x+1}\mathrm{和}d=p^x\mathrm{时}\mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{有}\mathrm{值}，\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{为}$$

$$g(op)=p^{xk+k}(d=p^{x+1}),g(op)=-p^{xk}(d=p^x)$$

$$\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{即}\mathrm{为}g(p^{x+1})=p^{xk+k}-p^{xk}(p\in prime)$$

$$\mathrm{随}\mathrm{后}\mathrm{即}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{入}\mathrm{最}\mathrm{后}\mathrm{一}\mathrm{步}g(x\ast prime)=?(prime|x)$$

$$\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{要}\mathrm{用}g(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{去}\mathrm{转}\mathrm{移}g(x\ast prime)，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{设}g(x\ast prime)=g(x)\ast A，\mathrm{再}\mathrm{次}\mathrm{开}\mathrm{导}！！$$

$$g(x\ast prime)=g(x)\ast A$$

$$\mathrm{感}\mathrm{性}\mathrm{理}\mathrm{解}\mathrm{一}\mathrm{下}，\mathrm{因}\mathrm{为}prime|x，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{说}x\ast prime\mathrm{和}x\mathrm{的}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}\mathrm{种}\mathrm{类}\mathrm{相}\mathrm{同}，\mathrm{只}\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}prime\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}\mathrm{多}\mathrm{了}\mathrm{一}$$

$$\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{设}a1,a2,a3...an\mathrm{为}x\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{的}\mathrm{质}\mathrm{数}，c1,c2,c3...cn\mathrm{为}\mathrm{其}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}，\mathrm{则}\mathrm{有}\mathrm{他}\mathrm{们}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{两}\mathrm{两}\mathrm{互}\mathrm{质}$$

$$\mathrm{故}g(x)=g(a{1}^{c1})\ast g(a{2}^{c2})\ast ...\ast g(a{n}^{cn})，\mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{到}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{即}\mathrm{为}$$

$$g(a{1}^{c1})\ast g(a{2}^{c2})\ast ...\ast g(prim{e}^{totprime+1})\ast ...\ast g(a{n}^{cn})=g(a{1}^{c1})\ast g(a{2}^{c2})\ast ...\ast g(prim{e}^{totprime})\ast ...\ast g(a{n}^{cn})\ast A$$

$$\mathrm{约}\mathrm{分}\mathrm{化}\mathrm{简}\mathrm{得}g(prim{e}^{totprime+1})=g(prim{e}^{totprime})\ast A$$

$$\mathrm{这}\mathrm{时}\mathrm{候}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{刚}\mathrm{推}\mathrm{得}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{就}\mathrm{有}\mathrm{用}\mathrm{了}，\mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{得}：$$

$$g(prim{e}^{totprime+1})=g(prim{e}^{totprime})\ast A$$

$$(prim{e}^{totprime\ast k+k}-prim{e}^{totprime\ast k})=(prim{e}^{totprime\ast k}-prim{e}^{totprime\ast k-k})\ast A$$

$$\mathrm{即}\mathrm{可}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{解}\mathrm{得}A=prim{e}^k$$

$$\mathrm{至}\mathrm{此}，\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{筛}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{移}\mathrm{已}\mathrm{经}\mathrm{全}\mathrm{部}\mathrm{完}\mathrm{成}，\mathrm{再}\mathrm{搭}\mathrm{配}\mathrm{上}\mathrm{前}\mathrm{缀}\mathrm{和}\mathrm{优}\mathrm{化}，\mathrm{完}\mathrm{美}\mathrm{的}\mathrm{在}O(n+T\sqrt{n})\mathrm{的}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{内}\mathrm{完}\mathrm{成}\mathrm{了}\mathrm{此}\mathrm{题}$$

最后就是代码了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=5e6+5,p=1e9+7;
int n,m,k,t,x,y,z;
int s[N],f[N];
int prime[N],tot;
bool not_prime[N];
int qpow(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}return ans;
}
void iint(){
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=5000000;i++){
		if(!not_prime[i])prime[++tot]=i,f[i]=(qpow(i,k)-1+p)%p;
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=5000000;++j){
			not_prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				f[prime[j]*i]=(f[i]*((f[prime[j]]+1)%p))%p;
				break;
			}
			f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%p;
		}
	}
	for(int i=1;i<=5000000;i++)s[i]=(s[i-1]+f[i])%p;
}
int get(int n,int m){
	int ans=0;
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int l=1,r=1;l<=n;l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans=(ans+(s[r]-s[l-1]+p)%p*(n/l)%p*(m/l)%p)%p;
	}return ans;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	// freopen("in.in","r",stdin);
	// freopen("out.out","w",stdout);
	cin>>t>>k;
	iint();
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		cout<<get(n,m)<<endl;
	}
	return 0;
}

润喽~~~~~