数据结构——第四章图：02图的存储结构

1.数组表示法（邻接矩阵表示法）：用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素（顶点）之间关系的信息。若图G是一个具有n个顶点的无权图，G的邻接矩阵是具有如下性质的n × n矩阵A：A[i, j] = 1（若<v_i, v_j> ∈ VR），反之为0。若图G是一个有n个顶点的网，则它的邻接矩阵是具有如下性质的n × n的矩阵A：A[i, j] = w_ij（若<v_i, v_j> ∈ VR），0（对角线上元素），∞（非对角线上元素）

无向图的邻接矩阵举例：

               

 

有向图的邻接矩阵举例：

2.图的数组表示法的特点如下：

（1）存储空间：对于无向图而言，它的邻接矩阵是对称矩阵，可采用压缩存储法，即之存储其下三角元素即可，这样，一个具有n个顶点的无向图G，它的邻接矩阵需要n(n-1)/2个存储空间即可。但对于有向图而言，其中的弧是有方向的，因此有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵，对于有向图的邻接矩阵的存储需要n²个存储空间。

（2）便与运算：采用邻接矩阵，便与判定图中任意两个顶点之间是否有边相连。另外还便于求得各个顶点的度，对于无向图而言，其邻接矩阵第i行元素之和就是图中第i个顶点的度。对于有向图而言，其邻接矩阵第i行元素之和就是图中第i个顶点的出度，其邻接矩阵第i列元素之和就是图中第i个顶点的入度。

3.邻接表表示法：图的数组表示法（即邻接矩阵表示法），虽然有其自身的优点，但对于稀疏图来讲，会造成存储空间的很大浪费。邻接表表示法实际上是图的一种链式存储结构，它克服了邻接矩阵的弊病。在邻接表中，对图中的每个顶点建立一个带头结点的单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点v_i的边（若是有向图，则表示以v_i为弧尾的弧）所关联的另一个顶点，每个单链表的头结点又构成一个表头结点表。

4.图的邻接表表示由表头结点表与每个顶点的链表两部分构成。表头结点表：由所有表头结点以顺序结构的形式存储，以便随机访问任一顶点的链表。表头结点的结构由两部分构成，其中数据域data用于存储顶点名或其它有关信息，链域firstarc用于指向链表中下一个顶点（即与顶点v_i邻接的第一个邻接点）。顶点单链表的每个结点也由两个域组成，其中邻接点域adjvex指示与顶点v_i邻接的点在图中的位置，链域nextarc指示下一条边或弧相关联的顶点。

无向图的邻接表举例：（无向图邻接表中链表的结点数为边个数的两倍）

          

有向图的邻接表举例：（有向图邻接表中链表的结点数等于弧的个数）

          

5.存储空间分析：对于有n个顶点、e条边的无向图而言，若采取邻接表作为存储结构，则需要n个表头结点和2e个表结点。在边很稀疏（即e << n(n-1)/2时）的情况下，用邻接表存储所需的空间比邻接矩阵所需的空间n(n-1)/2要节省得多。

6.无向图的度：在无向图的邻接表中，顶点v_i的度恰好就是第i个单链表上结点的个数。

7.有向图的度：在有向图中，第i个单链表上结点的个数是顶点v_i的出度，只需通过表头结点表找到第i个顶点的单链表的头指针，实现顺链查找即可。如要判定任意两个顶点（v_i和vj）之间是否有边或弧相连，或求得第i个顶点的入度，则需要搜索所有的单链表，操作麻烦。一种解决方法是逆邻接表法，可以对每个顶点v_i再建立一个逆邻接表，即对每个顶点v_i建立一个所有以顶点v_i为弧头的弧的表。