【HAOI2011】向量

【题目描述】

给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。

说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

【输入格式】

第一行数组组数t，(t<=50000)

接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*10^9<=a,b,x,y<=2*10^9)

【输出格式】

t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来

【分析】

我们看到这8个向量，很明显，在这些向量之中，有些是可以通过乘以-1来相互抵消的，所以现在我们只需要分析(a,b),(-a,b),(b,a),(-b,a)这四个就可以了。

  我们设这四个向量的系数分别为x1,x2,x3,x4

设A1=X1-X2，B1=X3-X4，A2=X1+X2，B2=X3+X4，我们知道，一个不定方程ax+by=c有整数解的条件是c mod gcd(a,b)=0，通过这个性质，我们能够轻易判断出方程组中任意一个不定方程是否有整数解的x1,x2,x3,x4,然而问题就在于，一个方程有整数解是否能代表整个方程组有整数解呢？显然不是，假设这两个方程都有整数解，那么有2*x1=A1+A2,然而整数的A1与A2并不能保证x1有整数解。

   想要x1是整数，很简单，只要A1+A2是偶数就行了，有2*x1=2*(A1/2+A2/2)。

在判断一次在不同的奇偶性下是否有解就可以了。

 

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cstdio>
long long d;
long long gcd(long long a,long long b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
bool check(long long a,long long b) {return (a%d==0)&&(b%d==0);} 
int main()
{
    long long zu,a,b,x,y;
    //文件操作
    freopen("vector.in","r",stdin);
    freopen("vector.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&zu);
    while (zu--)
    {
          scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y);
          //先判断是否有解 
          
          d=gcd(a,b)*2;
          if(check(x,y)||check(x-a,y-b)||check(x-b,y-a)||check(x-a-b,y-a-b)) printf("Y\n");
          else printf("N\n");
    }
    return 0;
}