2014百度之星资格赛解题报告：Labyrinth

Labyrinth

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问题描述

度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？

输入

输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。

输出

对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。

样例输入

2

3 4

1 -1 1 0

2 -2 4 2

3 5 1 -90

2 2

1 1

1 1

样例输出

Case #1:

18

Case #2:

4

解题报告

考虑每一列可以向上向下走，但必须走走以前没有走过的格子，所以度度熊在每一列上都只能选一个方向走，加上可以往右走，这样在每个格子上的状态就只要2种：

1.      state[x][y][0]表示之后只能向下或向右走；

2.      State[x][y][1]表示之后只能向上或向右走；

动态规划的递推公式为：

1.      state[x][y][0] = max { state[x-1][y][0],state[x][y-1][0], state[x][y-1][1] } + value[x][y]；

2.      state[x][y][1] = max {state[x+1][y][1], state[x][y-1][0], state[x][y-1][1] } + value[x][y]；

最后只要看取右上角的两个状态的最大值即可，即max {state[0][n-1][0], state[0,n-1][1] }。

动态规划的时间复杂度是O(N*N)。

解题代码：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[128][128];
int dp[128][128][2];
bool f[128][128][2];
int n = 0, m = 0;

int calc(int i, int j, int d) {
    if (i == 0 || i == n + 1 || j == 0) {
        return -100000000;
    }

    if (f[j][d]) {
        return dp[j][d];
    }
    f[j][d] = true;

    if (d == 0) {
        dp[j][d] = max(calc(i - 1, j, 0), max(calc(i, j - 1, 0), calc(i, j - 1, 1))) + a[j];
    }
    else if (d == 1) {
        dp[j][d] = max(calc(i + 1, j, 1), max(calc(i, j - 1, 0), calc(i, j - 1, 1))) + a[j];
    }

    return dp[j][d];
}

int main() {
    int T = 0;

    scanf("%d", &T);
    for (int k = 0; k < T; k++) {
        printf("Case #%d:\n", (k+1));
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                scanf("%d", &a[j]);
            }
        }

        memset(f, 0, sizeof(f));
        dp[1][1][0] = dp[1][1][1] = a[1][1];
        f[1][1][0] = f[1][1][1] = true;
        printf("%d\n", max(calc(1, m, 0), calc(1, m, 1)));
    }
}