「TYVJ1415」西瓜种植 - 差分约束

->戳我进原题

西瓜种植

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空间限制：131072KiB

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题目背景

笨笨：小西瓜，小西瓜~
路人甲：不会呀，这西瓜明明就大着啊……
笨笨：那……大西瓜，大西瓜~
路人甲：这么快就改口了……
笨笨：西瓜西瓜_{可爱的西瓜}

题目描述

笨笨种了一块西瓜地，但这块西瓜地的种植范围是一条直线的……
笨笨在一番研究过后，得出了 \(m\) 个结论，这 \(m\) 个结论可以使他收获的西瓜最多。
笨笨的结论是这样的：
从西瓜地 \(B\) 处到 \(E\) 处至少要种植 \(T\) 个西瓜，这个范围的收获就可以最大化。
笨笨不想那么辛苦，所以他想种植的西瓜尽量少，而又满足每一个所得的结论。

输入格式

第一行两个数 \(n,m（0<n<=5000,0<=m<=3000）\)，表示笨笨的西瓜地长 \(n\)，笨笨得出 \(m\) 个结论。
接下来 \(m\) 行表示笨笨的 \(m\) 个结论，每行三个数 \(b,e,t（1<=b<=e<=n,0<=t<=e-b+1）\)。

输出格式

输出笨笨最少需种植多少西瓜。

提示

基本上来说，笨笨的西瓜地就是一条壮观的线……笨笨原创。
样例数据

输入样例 #1

9 4

1 4 2

4 6 2

8 9 2

3 5 2

输出样例 #1

5

思路

典型差分约束题，这个东西着实比较抽象，所以我调了好长时间才过2333。
这个题大概是这样的：

• 给定 \(n\) 个闭区间 \([ai,bi](1≤n,0≤ai,bi≤50000)\) 和 \(n\) 个整数 \(ci(1≤i≤n)\)

• 你需要构造一个整数集合 \(Z\)，使得 \(∀i∈[1,n]\)，\(Z\) 中满足 \(ai≤x≤bi\) 的整数 \(x\) 不少于 \(ci\)个。

• 求这样的整数集合 \(Z\) 最少包含多少个数。

设 \(s[k]\) 表示 \(0\) 到 \(k\) 之间最少选出多少个整数。根据题意，有 \(s[bi]−s[ai−1]≥ci\) 个，这很明显是一个差分约束系统的模型。
不过，我们还要增加一些隐含的条件，才能保证求出的解是有意义的：

1. \(s[k]−s[k−1]≥0\) \(0\) 到 \(k\) 之间选出的书肯定在 \(0\) 到 \(k−1\) 内。

2. \(s[k]−s[k−1]≤1\) 每个数只能被选一次。可变形为 \(s[k−1]−s[k]≥−1\) 。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define rg register
using namespace std;
inline int read(){
	rg int f = 0, x = 0;
	rg char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch))	f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while( isdigit(ch))	x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f? -x: x;
}
const int N = 5010;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
int n, m, head[N], tot, dis[N], minn = inf, maxn = -inf;
bool vis[N];
struct edge{
	int to, nxt, w;
}e[N << 2];
inline void add(rg int u, rg int v, rg int w){
	e[++tot].nxt = head[u];
	e[tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	head[u] = tot;
}
inline void spfa(){
	for(rg int i = minn; i <= maxn; ++i)	dis[i] = -inf;//dis一定要是负无穷 
	queue<int > q;
	dis[minn] = 0;
	q.push(minn);
	while(!q.empty()){
		int u = q.front();
		vis[u] = false;
		q.pop();
		for(rg int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
			int v = e[i].to;
			if(dis[v] < dis[u] + e[i].w){//注意约束条件的三角形不等式与计算最短路的不太一样 
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if(!vis[v]){
					vis[v] = true;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
}
signed main(){
	n = read(), m = read();
	for(rg int i = 1; i <= m; ++i){
		int a = read(), b = read(), c = read();
		add(a - 1, b ,c);
		minn = min(minn, a - 1);
		maxn = max(maxn, b);
	}
	for(rg int i = minn; i <= maxn; ++i){	
		add(i, i + 1, 0);
		add(i + 1, i, -1);	
	}
	spfa();
	printf("%d", dis[maxn]);
	return 0;
}