「BZOJ2190」[SDOI2008] 仪仗队 - 欧拉函数

->点我进原题

[SDOI2008] 仪仗队

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时空限制 1000ms / 128MB

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Description

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

共一个数N。

Output

共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

4

Sample Output

9

HINT

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

思路

分析题目容易发现，除了 \((1,0)、(0,1)、(1,1)\) 三个人以外，一个人能被看到，当且仅当 \(1 \leq x,y \leq N,x \neq y\) 并且 \(gcd(x,y) = 1\) 。
在\(1 \leq x,y \leq N,x \neq y\) 中能看到的人关于 \((0,0)\) 和 \((N,N)\) 的直线对称。我们可以考虑其中的一半，即 \(1\le x< y \le N\) 。换言之，对于每个 \(2\le y\le N\) ，我们需要统计有多少个 \(x\) 满足 \(1\le x< y\) 并且 \(gcd(x,y) = 1\) 。这样的 \(x\) 的数量恰好就是 \(\Phi(y)\) 。
综上所述，本题的答案就是 \(3+2*\begin{matrix} \sum_{i=2}^N \Phi(i) \end{matrix}\)。
在线性筛中，每个合数 \(n\) 只会被他的最小质因子 \(p\) 筛一次。我们恰好可以在此时执行上面两条判断，从 \(\Phi(n/p)\) 递推到 \(\Phi(n)\) 。
为了使复杂度可以从 \(O(NlogN)\) 优化到 \(O(n)\) 我们还需要一下两个性质：

• 若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\)，则 \(\phi(n) = \phi(n/p)*p\)。
• 若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\nmid n\)，则 \(\phi(n) = \phi(n/p)*(p-1)\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<iostream>
#define rg register
using namespace std;
inline int read(){
	rg int f = 0, x = 0;
	rg char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch))	f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while( isdigit(ch))	x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
const int N = 40010;
int n, prime[N], phi[N], v[N], tot, ans;
inline void euler(){
	for(rg int i = 2; i <= n; ++i){
		if(!v[i]){
			v[i] = i;
			prime[++tot] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(rg int j = 1; j <= tot; ++j){
			if(prime[j] > v[i] or prime[j] * i > n)	break;
			v[prime[j] * i] = prime[j];
			phi[prime[j] * i] = phi[i] * (i % prime[j] ? prime[j] - 1 : prime[j]);
		} 
	}
}
signed main(){
	n = read() - 1;
	if(n == 0 or n == 1){
		puts("0");
		return 0;
	}
	euler();
	for(rg int i = 2; i <= n; ++i)	ans += phi[i];
	printf("%d", ans * 2 + 3);
	return 0;
}