ZOJ 1871. Steps

　　　　ZOJ 1871: Steps

　　　　地址：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=871

　　　　题意：假设在一条直线上标记着数字刻度。每一步的步长不能为负数，且和前一个步长的关系必须是相等，或大于或小于1。第一步和最后一步的步长必须是1。则从 x 到 y 的最小步数是多少。

 

　　　　可以用数学语言重新描述题目如下：给出无符号整数 d ( =  y-x ) ，可分解为满足下列条件的 n 个正整数的和，求 n 的最小值:

　　　　 d = ∑ Si ; (i = 1 ... n)

　　　

　　　　且满足：

　　　　S1 = Sn = 1;

　　　　| S(i + 1) - Si | ≤ 1;

 

　　　　分析：根据题目要求，理想条件下，为了达到最小步数，步长变化应该是从1，2，3 ... 一直增加到最大值 M，然后逐渐减小到1：

　　　　distance = y - x ;

　　　　distance = 1 + 2 + 3 + ... + M + ... + 3 + 2 + 1 = M^2;

　　　　steps = 2 * M - 1;  (步数)

　　　　

　　　　因此如果距离正好是一个平方数（M 的平方），则步数一定是（2M-1），其中 M 为 最大步长。当距离不是平方数时，假设介于 M^2 和 (M+1)^2 之间，则

　　　　distance = M^2 + remain; (0 < remain <= 2M )

　　　　

　　　　remain 是平方数后的尾数，如果remain 小于等于 M，则我们只需要把一个 remain 的步长插入到前面的序列中即可。如果 remain 大于 M，则一步是不够的，我们至少需要插入两步，M 和 remain - M（当然，也可以是 remain/2 和 remain - remain/2）。因为我们不能插入大于 M 的步长，否则最终累加的和会达到下一个平方数（（M+1）的平方）。

 

　　　　因此根据上述分析，代码如下（代码中为了可读性，M 用 maxStep 表示）：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(int argc, char* argv[])
{
    unsigned int x = 0, y = 0;
    unsigned int distance, maxStep, remain, steps;
    while(scanf("%lu %lu", &x, &y) != EOF)
    {
        distance = y - x;
        if(distance == 0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        maxStep = (unsigned int)sqrt(distance);
        remain = distance - maxStep * maxStep;

        steps = maxStep * 2 - 1;
        if(remain > 0)
        {
            if(remain <= maxStep)
                steps++;
            else
                steps += 2;
        }
        printf("%lu\n", steps);
    }
    return 0;
}