「学习笔记」高数入门知识
高等数学全世界都会只有我0基础,看来得稍微了解一下。
无穷小量
若当x→x0时,f(x)→0,称f(x)为无穷小量。
高阶无穷小量
若lim,则称为f为g的高阶无穷小量,g为f低阶无穷小量。
对于如果\beta是\alpha的高阶无穷小量,记\beta=o(\alpha)
导数的定义:
还可以写作\frac{df}{dx}
基本导数公式:
-
(c')=0。是显然的。
-
(\ln x)' = \frac{1}{x}
证明:
这是定义:e = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
-
(e^x)'=e^x
-
幂法则:(x^n)'=nx^{n-1}
二项式定理展开,忽略高阶小量
-
(\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = - \sin x
-
积法则:(fg)'=f'g+fg'
-
商法则:(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
-
链式法则:\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)
-
\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln x
证明:
积分
注意
泰勒展开
- 拉格朗日中值定理:对于在区间[a, b]上可导函数f,存在\varepsilon\in(a, b),f'(\varepsilon)(b - a) = f(b) - f(a)。实际上就是斜率。
这个拉格朗日中值定理其实是泰勒展开的一阶展开。
泰勒展开是已知在x_0的函数值以及n阶以下导数,展开f(x)。
构造多项式g(x) = A_0 + A_1(x - x_0) + A_2 (x - x_0)^2 + ...
令g(x_0) = f(x_0), g'(x_0) = f'(x_0), ..., g^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)(控制在x_0处的函数值和导数值与原函数相等)
解方程得到:
f(x_0) = A_0, f'(x_0) = 1!A_1, f''(x_0) = 2!A_2, ..., f^{(n)} = n!A_n
所以
如果我们算到(x-x_0)^n,那么余项R_n(x) = o[(x - x_0)^n]
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步