「学习笔记」高数入门知识

高等数学全世界都会只有我0基础，看来得稍微了解一下。

无穷小量

若当\(x \rightarrow x_0\)时，\(f(x)\rightarrow 0\)，称\(f(x)\)为无穷小量。

高阶无穷小量

若\(\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称为\(f\)为\(g\)的高阶无穷小量，\(g\)为\(f\)低阶无穷小量。

对于如果\(\beta\)是\(\alpha\)的高阶无穷小量，记\(\beta=o(\alpha)\)

导数的定义：

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

还可以写作\(\frac{df}{dx}\)

基本导数公式：

• \((c')=0\)。是显然的。

• \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)

证明：

这是定义：\(e = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)

\[(\ln x)' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \ln(1 + \frac{\Delta x}{x}) \]

\[= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}} \]

\[= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln((1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}})^{\frac{1}{x}} \]

\[= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln e^{\frac{1}{x}} \]

\[= \frac{1}{x} \]

• \((e^x)'=e^x\)

• 幂法则：\((x^n)'=nx^{n-1}\)

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \]

二项式定理展开，忽略高阶小量

• \((\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = - \sin x\)

• 积法则：\((fg)'=f'g+fg'\)

• 商法则：\((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

• 链式法则：\(\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)\)

• \(\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln x\)

证明：

\[(a^x)' = (e^{\ln(a^x)})' = a^x(\frac{d}{dx} \ln(a^x)) = a^x(\frac{d}{dx} x \ln(a)) = a^x\ln(a) \]

积分

注意

\[\int { \frac{1}{ax + b} dx} = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C \]

泰勒展开

• 拉格朗日中值定理：对于在区间\([a, b]\)上可导函数\(f\)，存在\(\varepsilon\in(a, b),f'(\varepsilon)(b - a) = f(b) - f(a)\)。实际上就是斜率。

这个拉格朗日中值定理其实是泰勒展开的一阶展开。

泰勒展开是已知在\(x_0\)的函数值以及\(n\)阶以下导数，展开\(f(x)\)。

构造多项式\(g(x) = A_0 + A_1(x - x_0) + A_2 (x - x_0)^2 + ...\)

令\(g(x_0) = f(x_0), g'(x_0) = f'(x_0), ..., g^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)\)（控制在\(x_0\)处的函数值和导数值与原函数相等）

解方程得到：

\(f(x_0) = A_0, f'(x_0) = 1!A_1, f''(x_0) = 2!A_2, ..., f^{(n)} = n!A_n\)

所以

\[g(x) = f(x_0) + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x - x_0) ^ i \]

如果我们算到\((x-x_0)^n\)，那么余项\(R_n(x) = o[(x - x_0)^n]\)