Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

「学习笔记」高数入门知识

高等数学全世界都会只有我0基础,看来得稍微了解一下。

无穷小量

若当xx0时,f(x)0,称f(x)为无穷小量。

高阶无穷小量

lim,则称为fg的高阶无穷小量,gf低阶无穷小量。

对于如果\beta\alpha的高阶无穷小量,记\beta=o(\alpha)

导数的定义

f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

还可以写作\frac{df}{dx}

基本导数公式

  • (c')=0。是显然的。

  • (\ln x)' = \frac{1}{x}

证明:

这是定义:e = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}

(\ln x)' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \ln(1 + \frac{\Delta x}{x})

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln((1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}})^{\frac{1}{x}}

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln e^{\frac{1}{x}}

= \frac{1}{x}

  • (e^x)'=e^x

  • 幂法则:(x^n)'=nx^{n-1}

f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}

二项式定理展开,忽略高阶小量

  • (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = - \sin x

  • 积法则:(fg)'=f'g+fg'

  • 商法则:(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

  • 链式法则:\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)

  • \frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln x

证明:

(a^x)' = (e^{\ln(a^x)})' = a^x(\frac{d}{dx} \ln(a^x)) = a^x(\frac{d}{dx} x \ln(a)) = a^x\ln(a)

积分

注意

\int { \frac{1}{ax + b} dx} = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C

泰勒展开

  • 拉格朗日中值定理:对于在区间[a, b]上可导函数f,存在\varepsilon\in(a, b),f'(\varepsilon)(b - a) = f(b) - f(a)。实际上就是斜率。

这个拉格朗日中值定理其实是泰勒展开的一阶展开。

泰勒展开是已知在x_0的函数值以及n阶以下导数,展开f(x)

构造多项式g(x) = A_0 + A_1(x - x_0) + A_2 (x - x_0)^2 + ...

g(x_0) = f(x_0), g'(x_0) = f'(x_0), ..., g^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)(控制在x_0处的函数值和导数值与原函数相等)

解方程得到:

f(x_0) = A_0, f'(x_0) = 1!A_1, f''(x_0) = 2!A_2, ..., f^{(n)} = n!A_n

所以

g(x) = f(x_0) + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x - x_0) ^ i

如果我们算到(x-x_0)^n,那么余项R_n(x) = o[(x - x_0)^n]

posted @   hfhongzy  阅读(2026)  评论(3编辑  收藏  举报
努力加载评论中...
点击右上角即可分享
微信分享提示