听说特征法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。
而这里简单谈谈特征根法的运用:用数列的递推公式求通项公式,用通项公式求递推公式
特征根方法的证明需要线性代数相关知识,留坑。
斐波那契数列的公式推导:
定义Fibonacci数列:f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2
考虑这个递推式:f(n)=f(n−1)+f(n−2),找到一个一元二次方程与之对应(二次项对应f(n),一次项对应f(n−1),常数项对应f(n−2))
x2=x+1
这个方程称为特征方程。
解出来特征根:x1=1+√52,x2=1−√52
则f(n)=c1xn1+c2xn2。把f(0)=0,f(1)=1代入,得到了:
c1+c2=0,c1x1+c2x2=1
解得:c1=1√5,c2=−1√5,整理后得到:
f(n)=(1+√52)n−(1−√52)n√5
一般递推式的解法
形式化地,考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式子
我们把上面的式子换成:f(n+2)−(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0
显然x1+x2=p,x1x2=−q。所以x1,x2是x2−px−q=0的两个根
f(n)就可以表示成C1xn1+C2xn2,C1,C2是常数
没有实数解怎么办?用复数。
反求递推式
某些时候通项公式可能不好计算,我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求
看一个例子:
f(n)=(√a+b)n+(√a−b)n2
令x1=√a+b,x2=√a−b
特征根方程即x2−2bx+(b2−a)=0(韦达定理)
所以 f(n)=2bf(n−1)−(b2−a)f(n−2)
本文作者:hfhongzy
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