「学习笔记」特征根法求解数列问题

听说特征法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。

而这里简单谈谈特征根法的运用:用数列的递推公式求通项公式,用通项公式求递推公式

特征根方法的证明需要线性代数相关知识,留坑。

斐波那契数列的公式推导

定义Fibonacci数列:f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n1)+f(n2),n2

考虑这个递推式:f(n)=f(n1)+f(n2),找到一个一元二次方程与之对应(二次项对应f(n),一次项对应f(n1),常数项对应f(n2)

x2=x+1

这个方程称为特征方程。

解出来特征根:x1=1+52,x2=152

f(n)=c1x1n+c2x2n。把f(0)=0,f(1)=1代入,得到了:

c1+c2=0,c1x1+c2x2=1

解得:c1=15,c2=15,整理后得到:

f(n)=(1+52)n(152)n5

一般递推式的解法

形式化地,考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式子

我们把上面的式子换成:f(n+2)(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0

显然x1+x2=p,x1x2=q。所以x1,x2x2pxq=0的两个根

f(n)就可以表示成C1x1n+C2x2n,C1,C2是常数

没有实数解怎么办?用复数。

反求递推式

某些时候通项公式可能不好计算,我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求

看一个例子:

f(n)=(a+b)n+(ab)n2

x1=a+b,x2=ab

特征根方程即x22bx+(b2a)=0(韦达定理)

所以 f(n)=2bf(n1)(b2a)f(n2)

本文作者:hfhongzy

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