「学习笔记」图论与网络流
二分图
匈牙利算法：不断找交替路径（这些边依次为没选、选、...、没选），然后把这些边状态取反，可以得到最大匹配
下面是几个结论，适用于二分图，证明思路都是证大于等于和小于等于：
1 证明：最大匹配 = 最小点覆盖
首先，最大匹配 \(\leq\) 最小点覆盖：一个最大匹配若有\(m\)条边，覆盖这些边至少要选\(m\)个点，因为最大匹配边没有公共顶点
然后，最大匹配 \(\geq\) 最小点覆盖：一个大小为\(n\)的点覆盖，我们依次加入每个点，加入时选一条没覆盖的邻边（一定能找到，否则这个点没用），就是说我们能得到一个大小为\(n\)的匹配。
2 证明：点数 - 最小点覆盖 = 最大独立集
点带权也是对的（不带权认为权是\(1\)），我们直接证带权的
把最小点覆盖取个补集，发现是个独立集（如果补集出现相邻点，那么这条边一定没被覆盖），这个独立集权值<=最大独立集
把最大独立集取个补集，发现是个点覆盖，这个点覆盖权值>=最小点覆盖
3 证明：最大独立集 = 最小边覆盖
qwq
Tarjan相关
割点：令\(ch[u]\)表示\(low[v] \geq dfn[u]\)的\(v\)个数，若\(u\)是祖先且\(ch \geq 1\)或\(u\)不是祖先且\(ch \geq 2\)，则\(u\)是割点
void tarjan(int u, int fa) { //root : fa = 0
dfn[u] = low[u] = ++ idx;
int ch = 0;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i ++) {
int v = G[u][i];
if(!dfn[v]) {
ch ++;
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(fa && low[v] >= dfn[u]) iscut[u] = 1;
} else if(v != fa)
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if(!fa && ch >= 2) iscut[u] = 1;
ans += iscut[u];
}
桥：若\(low[v] > dfn[u]\)，则边\((u, v)\)是桥
边双连通分量的一种求法是直接tarjan，不走刚刚过来的边。
int dfn[N], low[N], idx, top, st[N], col[N], cnt, d[N];
bool ins[N];
void tarjan(int u, int pre = -404) {
dfn[u] = low[u] = ++ idx;
st[++ top] = u; ins[u] = 1;
for(int i = hd[u]; ~ i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v, i ^ 1);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(i != pre && ins[v]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if(low[u] == dfn[u]) {
int v; cnt ++;
do {
v = st[top --];
col[v] = cnt;
ins[v] = 0;
} while(v != u);
}
}
边双连通分量还有一种求法是删桥，然后dfs，这里不写了
点双连通分量遇到树边和反向边都压到栈里，遇到一个割点就弹栈记录
int dfn[N], low[N], idx, top, cnt, bel[N];
edge st[N * N * 2];
vector<int> bcc[N];
void tarjan(int u, int fa = 0) {
dfn[u] = low[u] = ++ idx;
for(int v = 1; v <= n; v ++) if(G[u][v]) {
if(!dfn[v]) {
st[++ top] = (edge) {u, v};
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(low[v] >= dfn[u]) {
cnt ++; bcc[cnt].clear();
while(1) {
edge e = st[top --];
if(bel[e.u] != cnt) {
bel[e.u] = cnt;
bcc[cnt].push_back(e.u);
}
if(bel[e.v] != cnt) {
bel[e.v] = cnt;
bcc[cnt].push_back(e.v);
}
if(e.u == u && e.v == v) break ;
}
}
} else if(dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {
st[++ top] = (edge) {u, v};
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
网络流
Edmonds-Karp：暴力bfs，每次残量网络上找一条最短的s到t的路径增广。时间复杂度 \(O(nm^2)\)
Dinic：残量网络上利用bfs构造分层图，每次只考虑残量网络上层与层之间连的边进行dfs多路增广。时间复杂度上界 \(O(n^2m)\)，实际上很快
费用流：\(EK\)算法算法中的bfs改为spfa，即每次找费用最小的路径增广，这样跑出来最大流的时候费用一定最小（贪心思想）
最大流最小割定理：https://blog.csdn.net/yjr3426619/article/details/82715779
上下界网络流：
1 无源汇（循环流）的上下界可行流：\((u, v, c, b)\)来描述一条弧，表示容量下界为\(b\)，上界为\(c\)
考虑我们先把每条弧流量设置为\(b\)，得到一个初始流。这样得到的初始流不满足流量平衡（每个结点流入流量 = 流出流量），需要求出一个附加流，使初始流 + 附加流 = 满足流量平衡的可行流
考虑结点\(u\)：初始流中，流入 = 流出，则附加流中流入 = 流出；初始流中，流入比流出大/小 \(k\)，则附加流中流出比流入大/小 \(k\)，才能满足流量平衡
也就是说对于结点\(u\)，如果初始流流入 > 流出，附加流 流入 < 流出；如果初始流流出 > 流入，附加流 流出 < 流入
可以得到一个做法：建立附加源\(ss\)和附加汇\(tt\)，令\(a[u] =\) 流入 - 流出，若\(a[u] > 0\)，\(ss\)向\(u\)连一条容量为\(a[u]\)的弧。若\(a[u] < 0\)，\(u\)向\(tt\)连一条容量为\(-a[u]\)的弧。上面这两种弧称附加弧。
根据每个点流量平衡，删去\(ss\)和\(tt\)以后，附加流中每个点的流入和流出就不一定相等了，这也正是我们的目的。注意上述图中还有结点直接的弧，容量为\(c - b\)，即附加流不能过大。
我们希望所有附加弧都满流，这样才存在上述附加流。可以发现，跑\(ss-tt\)的最大流可以让附加弧尽可能满。如果最大流和所有与\(ss\)（或\(tt\)）相邻的弧容量和相等，说明有解
平面图最小割：每条边两侧的两个面连边，得到对偶图。平面图的一个割对应对偶图的一个环，并且环经过最外的面。最小环难以处理，可以\(s\)到\(t\)连一条INF边，这样最小环转化为最短路。
最大权闭合子图：\(s\)向收益点连容量为收益大小的边，成本点向\(t\)连成本大小的边，总收益 - 最小割就是答案。割左边表示放弃收益，割右边表示付出成本。
