无向图转边双连通分量最少加边数

问题描述

性质和结论

性质

一个无向图如果满足任意两点间存在至少2条不同的路径，则该图属于边的双连通分量
注：两条路径不同是指两条路径中不存在任何一条公共边
证明：

1. 充分性：一个图如果满足任意两点间都至少存在2条不同的路径，则该图一定为边的双连通分量
   采用反证法，假设一个图满足任意两点间都至少存在2条不同的路径，且该图不是边的双连通分量。
   因为该图不是边的双连通分量，则图中至少存在一个桥，该桥连接两个边的双连通分量，将桥去掉后，在剩下两个连通分量中各取一点，这两点之间的路径一定需要经过桥，所以不满足假设条件中的“任意两点间都至少存在2条不同的路径”的要求，因此假设不成立，充分性得证。
2. 必要性：如果一个图为边的双连通分量，则一定满足图上任意2点间至少存在2条不同的路径
   反证法，假设一个图是边的双连通分量，但图中存在两点，该两点之间的路径仅存在1条或不存在，显然该路径上的边均为桥，由于存在桥，则此图不再为边的双连通分量，假设不成立，必要性得证

结论

按照类似有向图强连通分量缩点的思想，使用Tarjan将图中边双连通分量进行缩点，设缩点后叶子节点数量为\(cnt\)(注：叶子节点是指度数为1的点)
则\(最少加边数 = \lceil \frac{cnt}{2} \rceil = \lfloor \frac{cnt + 1}{2} \rfloor\)
证明：该结论的证明还暂时没有掌握，感性的理解是如果\(cnt\)为偶数，那么叶子节点两两连边从而与根节点形成环路保证其称为边双连通分量；如果\(cnt\)为奇数，那么前偶数个叶子节点实行之前的操作，最后一个节点直接连向根节点

算法流程

1. 将边双连通分量进行缩点
   缩点后的结果是，把每一个边双连通分量看作一个点，每一条边都是桥
2. 统计各边双连通分量度数
   枚举每一条边，如果该边为桥，则该边指向端点所在边双连通分量度数加1(一条边存储了2次，该边两个端点入度均会加1)
3. 计算叶子节点个数并计算出答案
   度数为1的点即为叶子节点

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 2e4 + 10;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dfn[N], low[N], timestamp;
bool is_bridge[M];
int id[N], eDcc_cnt;
int d[N];
stack<int> stk;
bool in_stk[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++;
}
// 从from边走到u，进行tarjan
void tarjan(int u, int from)
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk.push(u);
    in_stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j])
        {
            tarjan(j, i);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
            if (dfn[u] < low[j]) 
                is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;
        }
        else if (i != (from ^ 1)) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }

    if (dfn[u] == low[u])
    {
        int y;
        ++ eDcc_cnt;
        do {
            y = stk.top(); stk.pop();
            id[y] = eDcc_cnt;
            in_stk[y] = false;
        } while (y != u);
    }
}
int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++ i)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    tarjan(1, -1); // 题目保证任意两点间至少存在一条路径，即任选一点即可走到其它所有点；同时标记当前点是从编号为-1的边走来的，即将它作为根节点

    // 统计各节点度数
    for (int i = 0; i < idx; ++ i)
        if (is_bridge[i])
            ++ d[id[e[i]]];
    
    // 计算度为0的节点个数，即叶子节点个数
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= eDcc_cnt; ++ i)
        if (d[i] == 1) ++ cnt;
        
    
    cout << ((cnt + 1) / 2) << endl;

    return 0;
}