无向图的双连通分量
概念解释
- 连通分量：无向图的极大连通子图。连通图的连通分量是其自身，非连通图有多个连通分量
- 割边(桥)：一无向图中，一条边称为桥应当满足当删除这条边后，图的连通分量增多
- 割点：一无向图中，一个点称为割点应当满足当删除这个顶点和与其相关联的边后，图的连通分量增多
- 边双连通分量（Edge biconnected component, E-BCC）：一连通分量称之为边连通分量，应当满足去掉任意一条边，都不会改变此图的连通性，即不存在桥
- 点双连通分量（Vertex biconnected component, V-BCC）：一连通分量称之为点连通分量，应当满足去掉任意一个点后，都不会改变此图的连通性，即不存在割点
[易错点]
- 两个割点之间的边不一定是桥
- 桥的两端点不一定是割点
- 点双连通分量不一定是边双连通分量
[注]：一个点显然是连通的 - 边双连通分量不一定是点双连通分量
桥的判定及求解E-BCC实现思路
与有向图求scc类似，同样引入\(dfn\)和\(low\)两个标记。对于(x, y)，如果x->y是桥，应当满足\(low[y] > dfn[x]\)
易错点
- 此时为无向图，同时存在父->子，子->父两条路径，在Tarjan过程中，必须保证一条边不能重复走，因为桥的判定条件为\(low[y] > dfn[x]\)，如果可以重复走，则至少可以满足\(low[y] >= dfn[x]\)，无法再判定出桥的存在了
- 在有向图中，存在一种情况是，“一个点a处在某个scc中，另一个点b搜索到a点时a已经弹栈”，出现这种情况说明b点不会处在a所在的scc中，用a点数据更新b点是错误的，因此需要加入in_stk的判断。但是在无向图中，假设存在一种情况是“一个点a处在某个e-dcc中，另一个点b搜索到a点时a已经弹栈”，由此构造出下图，由于是无向边，在b搜索到a之前a已经将b搜索过了，同时边双连通分量过程是不允许一条边走两次的，因此b走到a的路径是非法路径(这是因为无向图中不存在横叉边)，也就是说上述假设情况是无法发生的，因此在搜索到一个已经被搜索过的点时，无需判断其是否处在栈中
代码实现
/**
* u: 待搜索点编号
* from: 来到u点的边编号，用于保证一条边仅走父->子，不走子->父
* eDcc_cnt：边双连通分量编号
* is_bridge[i]：标记编号为i的边是否为桥
* id[i]：标记编号为i的点处与的边双连通分量编号
* 说明：代码中异或的运用，在无向图加边时，0和1代表同一条边，2和3代表同一条边，而0^1=1，1^1=0，2^1=3，3^1=2，借此判断是否走的是来时的路
*/
void tarjan(int u, int from)
{
dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
stk.push(u);
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!dfn[j])
{
tarjan(j, i);
low[u] = min(low[u], low[j]);
if (dfn[u] < low[j])
is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;
}
else if (i != (from ^ 1)) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
}
if (dfn[u] == low[u])
{
int y;
++ eDcc_cnt;
do {
y = stk.top(); stk.pop();
id[y] = eDcc_cnt;
} while (y != u);
}
}
割点判定及求解V-BCC实现思路
割点的判定同样利用\(dfn\)和\(low\)两个标记，对于点x，其是割点有以下情况
- x不是根节点(root) && x有儿子y && \(low[y] >= dfn[x]\)
- x是根节点 && 在深度搜索树中x有2个以上的儿子
注：情况2中给定的条件是“在深度搜索树中有2个以上儿子”，这不同于在图上x有2个以上儿子，例如右图，根节点的确有2个儿子A和B，但A和B之间的连接使得root节点并非割点
易错点
- 不需要一条边不能重复走的判断，割点的判断条件为\(low[y] \geq dfn[x]\)，一条边重复走导致的结果是 \(low[y] = dfn[x]\)，这并不会影响割点的判断
- 不需要in_stk的判断，理由同桥的判断
代码实现
/**
* 函数功能：将一非连通图转化为各个点双连通分量
* root：枚举的根节点
* isCut[i]：标记点i是否为割点
* vDcc[i]：编号为i的点双连通分量(点的集合)
*
* 注：在划分点双连通分量时，我们将割点划分到其所属的每一个点双连通分量
*/
void tarjan(int u)
{
dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
stk.push(u);
// 特判孤立点，每一个孤立点都是一个单独的点双连通分量
if (u == root && h[u] == -1) // u == root 和 h[u] == -1是等价的，这里为了代码可读性全部写上了
{
++ vDcc_cnt;
vDcc[vDcc_cnt].push_back(u);
return ;
}
int cnt = 0;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!dfn[j])
{
tarjan(j);
low[u] = min(low[u], low[j]);
if (low[j] >= dfn[u]) // 仅这一个条件只能判断出j及栈中节点构成一个v-DCC，u是不是割点不能确定
{
/**
* 满足low[j] >= dfn[u]的前提下，总共有3种情况
* 1. u不是根节点
* 2. u是根节点但其下有<=1个v-Dcc
* 3. u是根节点但其下有>1(>=2)个v-Dcc
* u点是割点有两种情况：
* 1. u不是根节点 (u != root)
* 2. u是根节点但是u下有至少2个v-DCC (cnt > 1)
*/
++ cnt; // cnt每次自增都代表着u节点下存在着一个v-Dcc
if (u != root || cnt > 1) isCut[u] = true;
int y;
++ vDcc_cnt;
do {
y = stk.top(); stk.pop();
vDcc[vDcc_cnt].push_back(y);
} while (y != j);
vDcc[vDcc_cnt].push_back(u); // 不能放到do-while中是因为一个割点可能属于多个vDcc，不能只存储一次
}
}
else low[u] = min(low[u], dfn[j]);
}
}
