Tarjan强连通分量(scc)

概念解释

节点强连通： $v_i$ 与 $v_j$ ( $v_i ≠ v_j$ )强连通是指从 $vi$ 到 $vj$ 和从 $vj$ 到 $vi$ 都存在路径，即两节点互相可达
强连通图：在有向图 $G$ 中，对于每一对 $v_i、v_j$ ， $v_i ≠ v_j$ ，从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 都存在路径，则称G是强连通图。即任意两个节点强连通的有向图
强连通分量（Strongly Connected Components，SCC）：有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。对于“极大”一词，我的理解是如果有向图中某部分是强连通的，再加入其它任何节点都将使得该部分变为非强连通，则此部分为原图的一个极大强连通子图

算法作用

可以将有向有环图转化为有向无环图(拓扑图-DAG图)。使得原始图具有拓扑图的种种性质，例如在拓扑图中使用递推可以在线性时间内解决一些最短路(最长路问题)

算法思想

缩点：Tarjan将有环图转化为无环图就是将每一个 $scc$ 看作一个点，即所谓的缩点。但缩点并非特意需要代码实现，只是一种概念上的存在，原图在存在形式上仍为一个个独立的点，但我们可以根据不同点的 $scc_id$ 值，人为将这些点进行分类，从而将具有相同属性的点划分为一个集合，即实现了缩点操作。

进行一次Tarjan要达成的目标是：1.确定图上任意一点所属的scc编号 2.确定每个scc包含节点的个数

Tarjan求解强连通分量采用了 $DFS$ 的搜索顺序，搜索到每一个点时都有一个时间，采用 $dfn[i]$ 表示搜索到节点 $i$ 时的时间
在一个 $scc$ 中，一定有一个 $dfn$ 最小的点，即最先被搜素到的点，该 $scc$ 中除该点以外的点通过环路可以走到的最小 $dfn$ 编号记为 $low[i]$

Tarjan求scc的过程因为使用栈，存在递归和回溯，所以较难说清它的思考流程，只能是参照代码，理解其中各个数组的含义，学会使用即可。

Tarjan求解强连通分量主要依托的就是以上两个标记数组。我们思考在图的搜索过程中，如何判断出现了环路。在DFS的搜索过程中，每当我们搜索到一点，就会将该点入栈保存现场进行递归搜索其子节点，如果我们在搜索过程中遇到了一个栈中的节点，此时就形成了一个环路。使用栈仅能够判断是否存在环路，无法达成目标， $dfn$ 和 $low$ 的作用是标记一个节点被搜索到的顺序和它在scc中实际能走到的点的最小编号，如果搜索节点b的相邻节点时，遇到了栈中的节点a，一定满足 $dfn[a] < dfn[b]$ ，low[b]也应当由dfn[b]更新为dfn[a]，这类节点满足 $dfn != low$ 。如果某个节点c的 $dfn == low$ ，说明从它不能走到编号更小的节点了，即它就是一个scc中编号最小的节点，同属于该scc的节点因为不满足 $dfn == low$ ，所以都仍处于栈中，此时开始弹栈直到将c弹出，这些弹出的即为同一个scc中的节点，弹出时标记其所属scc编号和累加对应scc节点个数计数器即可

$DFS$ 搜索需要用到栈 $stk$
$in_stk[i]$ 用来标记点 $i$ 当前是否处于栈中
$Size[i]$ 用来记录编号为 $i$ 的 $scc$ 中点的数量

语言描述起来有些混乱，B站有个讲的不错的视频见下

代码实现

代码中else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);，为什么用 $dfn[j]$ 而非 $low[j]$ 还尚不清楚，在Tarjan's SCC : example showing necessity of lowlink definition and calculation rule?中给出的理由是使用 $low[j]$ 就会破坏了 $low$ 数组的含义，但我觉得恰恰相反，所以这个问题待定

void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk.push(u), in_stk[u] = true;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j])
        {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[j], low[u]);
        }
        else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }
    if (dfn[u] == low[u])
    {
        do {
            int t = stk.top(); stk.pop();
            id[t] = scc_cnt;
            in_stk[t] = false;
            ++ Size[scc_cnt];
        } while (t != u);

        // ++ scc_cnt;
        // int t = stk.top(); stk.pop();
        // id[t] = scc_cnt;
        // in_stk[t] = false;
        // ++ Size[scc_cnt];
        // while (t != u)
        // {
        //     t = stk.top(); stk.pop();
        //     id[t] = scc_cnt;
        //     in_stk[t] = false;
        //     ++ Size[scc_cnt];
        // }
    }
}