隔板法

计算不定方程的等式方程非负整数解的组数

问题描述

对于不定方程 $a_1 + a_2 + a_3 + \ ... \ + a_k = g$ ，求解该不定方程正整数解的组数
eg: $k = 3, g = 4$ 时， $①1 + 1 + 2 = 4 \ ②1 + 2 + 1 = 4 \ ③2 + 1 + 1 = 4$ ，所以此时是三组解

问题分析

问题可等效为求解将 $g$ 个小球分成 $k$ 组的方案数
解决方法为隔板法。 $g$ 个小球共 $g-1$ 个间隔， $k-1$ 个隔板可以分为 $k$ 个部分，在 $g-1$ 个间隔中放置 $k-1$ 个隔板的方案数即为答案
隔板法能够运用的前提条件为保证 $a_i$ 为非负整数，这样使用隔板划分出的数据才是合法的。假设 $a_i$ 可能为负数或0，使用隔板是无法得到对应数据的

代码实现

仅需要实现组合数的计算，具体内容见组合数的代码实现

例题

方程的解

计算不定方程的不等式方程非负整数解的组数

问题描述

$y_1 + y_2 + y_3 + \ ... \ + y_k \leq g$
$y_i \geq 1$
求符合条件的 $y_i$ 的解的组数

问题分析

对于等式 $y_1 + y_2 + y_3 + \ ... \ + y_k = g$ ,求解方法可以采用隔板法，这是在上面讨论过的
假设我们目前仅考虑 $=$ 的情况，只需在 $g-1$ 个间隔中放置 $k-1$ 个隔板，从而构成k个数
接着考虑 $<$ 的情况，此时形成的k个数需要小于g，即g个球中有未进入分组的，在 $g-1$ 个间隔中放置 $k$ 个隔板，这样构成的 $k+1$ 个分组中最后一组就相当于未进入分组的，前k个数的和就 $<g$ 了
综合考虑以上两种情况，最终策略为在 $g-1$ 个间隔加上最后的位置中放置 $k$ 个隔板。当隔板全部处于中间 $g-1$ 个位置时，对应的是 $<$ 的情况；当最后一个隔板处于最后的位置时，中间 $g-1$ 个间隔中还是 $k-1$ 个隔板，对应的是 $=$ 的情况。