隔板法
计算不定方程的等式方程非负整数解的组数
问题描述
对于不定方程\(a_1 + a_2 + a_3 + \ ... \ + a_k = g\)，求解该不定方程正整数解的组数
eg: \(k = 3, g = 4\)时，\(①1 + 1 + 2 = 4 \ ②1 + 2 + 1 = 4 \ ③2 + 1 + 1 = 4\)，所以此时是三组解
问题分析
问题可等效为求解将\(g\)个小球分成\(k\)组的方案数
解决方法为隔板法。\(g\)个小球共\(g-1\)个间隔，\(k-1\)个隔板可以分为\(k\)个部分，在\(g-1\)个间隔中放置\(k-1\)个隔板的方案数即为答案
隔板法能够运用的前提条件为保证\(a_i\)为非负整数，这样使用隔板划分出的数据才是合法的。假设\(a_i\)可能为负数或0，使用隔板是无法得到对应数据的
代码实现
仅需要实现组合数的计算，具体内容见组合数的代码实现
例题
计算不定方程的不等式方程非负整数解的组数
问题描述
\(y_1 + y_2 + y_3 + \ ... \ + y_k \leq g\)
\(y_i \geq 1\)
求符合条件的\(y_i\)的解的组数
问题分析
对于等式\(y_1 + y_2 + y_3 + \ ... \ + y_k = g\),求解方法可以采用隔板法，这是在上面讨论过的
假设我们目前仅考虑\(=\)的情况，只需在\(g-1\)个间隔中放置\(k-1\)个隔板，从而构成k个数
接着考虑\(<\)的情况，此时形成的k个数需要小于g，即g个球中有未进入分组的，在\(g-1\)个间隔中放置\(k\)个隔板，这样构成的\(k+1\)个分组中最后一组就相当于未进入分组的，前k个数的和就\(<g\)了
综合考虑以上两种情况，最终策略为在\(g-1\)个间隔加上最后的位置中放置\(k\)个隔板。当隔板全部处于中间\(g-1\)个位置时，对应的是\(<\)的情况；当最后一个隔板处于最后的位置时，中间\(g-1\)个间隔中还是\(k-1\)个隔板，对应的是\(=\)的情况。
代码实现
同样仅需要实现组合数的计算，，具体内容见组合数的代码实现
