矩阵快速幂

应用场景

计算超大数据范围内的斐波那契数列

算法原理

根据公式$f[n] = f[n - 1] + f[n - 2]$
我们如果想要计算$f[n]$的值，需要通过$f[n - 1]$和$f[n - 2]$
那么通过两个矩阵的运算即可达到我们的目的

• 矩阵1:

$$\begin{bmatrix} f[n - 2] & f[n - 1] \end{bmatrix}$$

• 矩阵2:

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

• 矩阵1 * 矩阵2的结果

$$\begin{bmatrix} f[n - 1] & f[n] \end{bmatrix}$$

如果想要计算前n项的和，我们还需要向矩阵中增添元素

• 矩阵1:

$$\begin{bmatrix} f[n - 1] & f[n] & s[n - 1] \end{bmatrix}$$

矩阵1之所以这样定义，是因为初始状态是下面这样的

$$\begin{bmatrix} f[1] & f[2] & s[1] \end{bmatrix}$$

• 矩阵2:

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 矩阵1 * 矩阵2的结果

$$\begin{bmatrix} f[n] & f[n + 1] & s[n] \end{bmatrix}$$

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 3;

int n, m;

void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N]) // c = a * b
{
    int temp[N][N] = {0};
    
    // 手算的过程就是先选定a中的一行，然后遍历b的所有列，所以按照如下
    for (int i = 0; i < N; ++ i) // 选择a的行
        for (int j = 0; j < N; ++ j) // 选择b的列
            for (int k = 0; k < N; ++ k) // 选择a的列和b的行
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % m;
    
    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    int f[N][N] = {1, 1, 1};
    int a[N][N] = {
        {0, 1, 0},
        {1, 1, 1},
        {0, 0, 1}
    };
    
    -- n; // 计算s[1]需要乘以a 0 次，所以计算s[n]需要乘以a n-1次
    // 计算f*a^n
    while (n)
    {
        if (n & 1) mul(f, f, a);
        mul(a, a, a);
        n >>= 1;
    }
    
    cout << f[0][2] << endl;
    
    return 0;
}