耍杂技的牛

问题描述

农民约翰的$N$头奶牛（编号为$1..N$）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
这N头奶牛中的每一头都有着自己的重量Wi以及自己的强壮程度$S_i$。
一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

问题分析

对相邻的两头牛进行分析，分别写出交换前和交换后两头牛的危险值
交换前 ：牛$i$在牛$i+1$上方
牛$i$：$w_1 + ... + w_{i-1} - s_i$
牛$i+1$：$w_1 + ... + w_i - s_{i+1}$

交换后：
牛$i$：$w_1 + ... + w_{i-1} + w_{i+1} - s_i$
牛$i+1$：$w_1 + ... + w_{i-1} - s_{i+1}$

我们想要探究的只是这些数据的大小关系，所以可以去掉相同的部分

交换前 ：牛$i$在牛$i+1$上方
牛$i$：$-s_i$
牛$i+1$：$w_i - s_{i+1}$

交换后：
牛$i$：$w_{i+1} - s_i$
牛$i+1$：$-s_{i+1}$

可以发现，$w_i+1 - s_i > -s_i, w_i - s_{i+1} > -s_{i+1}$
所以想要判断交换前和交换后最大值的关系，只需要探究 $w_i - s_{i+1}$ 和 $w_{i+1} - s_i$的关系
因为假设 $w_i - s_{i+1} > w_{i+1} - s_i$，说明交换前两头牛之间的最大值是$w_i - s_{i+1}$且交换前的最大值一定大于交换后的最大值，虽然无法判断交换后的最大值是哪个
同理，根据 $w_i - s_{i+1} < w_{i+1} - s_i$ 也一定可以判断出交换后的最大值一定大于交换前的最大值

交换前的最大值 > 交换后的最大值说明我们的交换是有意义的，此时满足 $w_i - s_{i+1} > w_{i+1} - s_i$，变形可得 $w_i + s_i > w_{i+1} + s_{i+1}$，
就是说当前一个牛的$w+s$比后面的更大时，交换就可以使答案更优，所以我们只需要根据$w+s$从小到大排序，然后遍历一遍求出最大值即可，此时的最大值就是所有最大值中最小的

上面的解法能够实现具有一个很重要的条件：任意交换相邻两头牛的位置对除这两头牛外的其他牛并没有影响

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <limits.h>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 50010;

int n;
vector<PII> cows;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        int w, s;
        cin >> w >> s;
        cows.push_back({w, s});
    }
    
    sort(cows.begin(), cows.end(), [](PII a, PII b) {return a.first + a.second < b.first + b.second;});
    
    int sum = 0, res = INT_MIN;
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        res = max(res, sum - cows[i].second);
        sum += cows[i].first;
    }
    
    cout << res << endl;
}