区间dp

石子合并

问题描述

设有N堆石子排成一排，其编号为$1，2，3，…，N$。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这$N$堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有4堆石子分别为 $1 \ 3 \ 5 \ 2$， 我们可以先合并$1、2$堆，代价为$4$，得到$4 \ 5 \ 2$， 又合并$1，2$堆，代价为$9$，得到$9 \ 2$ ，再合并得到$11$，总代价为$4+9+11=24$；
如果第二步是先合并$2，3$堆，则代价为$7$，得到$4 \ 7$，最后一次合并代价为$11$，总代价为$4+7+11=22$。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

问题分析

问题分析的关键在于理解到：无论多少堆石子，最后一步一定是两堆合并为一堆
所以将第$i$堆石子到第$j$堆石子进行合并可以按照分界点进行划分
下图中的$1$到$k-1$表示分界点左侧石子的堆数，其中$k$表示从第$i$堆石子到第$j$堆石子总共的堆数

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 310, INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int a[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
        {
            cin >> a[i];
            a[i] += a[i - 1];
        }

    // 长度为1的序列合并代价均为0，所以长度从2开始
    for (int len = 2; len <= n; ++ len)
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++ i)
        {
            int l = i, r = i + len - 1;
            f[l][r] = INF; // 如果使用memset(f, 0x3f, sizeof f)，那么就需要初始化长度为1的序列的初始值了
            for (int k = l; k < r; ++ k)
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + a[r] - a[l - 1]);
        }
        
    cout << f[1][n] << endl;
    
    return 0;
}