高斯消元

这里暂时并不会涉及到复杂的线性代数中的情况
化为上三角行列式之，有三种情况

1. n个变元，n个方程：唯一解
2. n个变元，小于n个方程，且其余方程不存在矛盾：无穷解
3. 存在矛盾：无解

算法流程

1.从第一列开始，找到每一列绝对值最大的那一行
2.把上一步找到的那一行放到最上面
3.把最上面一行该列的系数变为1
4.把该列其他行系数变为0
5.如果有唯一解，从最后一个式子开始向上逐渐消元直至得到最简上三角行列式

代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6; // 这个数字的定法是个比较玄学的问题，因为不好说多小才算是0，0.01就不应该算作0，所以1e-6应该说是经验值

int n;
double a[N][N];

int guass()
{
    // 完成高斯消元的模拟过程并返回解的情况
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; ++ c) // 列，每次循环确定一个未知量的解
    {
        // 第一步：找到c列绝对值最大的行数
        int t = r; // c列系数最大的一行
        for (int i = r; i < n; ++ i) // 行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
       
        /**
         * 实际目的为判断是否为0，但是由于精度问题，可能出现0.00000001这种类似的情况，所以采用这种方式，在浮点数二分时也采用过这种方式
         * 这里的contineu不太好理解
         * 我们需要从r的意义入手，我们希望每次r都能确定一个解，如果当前列的系数均为0，我们是没办法确定一个解的，所以去看下一列
         * 所以最终如果是唯一解，那么r应该是等于方程个数的，因为每个方程确定一个解，如果不等于，就要看方程右边是不是存在某个常数不为0，如果存在，说明存在0 = 非0这种式子，所以是无解，否则是无穷多解
         */
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
       
        // 第二步：将t行换到最上方还未确定的一行
        for (int i = 0; i < n + 1; ++ i) swap(a[r][i], a[t][i]);
       
        // 第三步：将首位系数变为1
        for (int i = n; i >= 0; -- i) a[r][i] /= a[r][c];
       
        // 第四步：将下方c列系数变为0
        for (int i = r + 1; i < n; ++ i)
            for (int j = n; j >= 0; -- j) // 需要从后向前更新，以保留该行第一个系数
                a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];
        ++ r;
    }
    
    /**
    * 如果是唯一解，那么每一行确定一个一个解
    * 假设有3个方程，3个未知量，那么r=0时处理第一个未知量，=1时第二个，=2时第三个，=3时结束了，也就是r最终停止的位置是不确定解的位置
    * 所以如果是无解或者无穷解，r-1是最后一个确定方程解得位置，r是第一个全零行，所以判断是无解还是无穷解是从r开始的，而非r+1
    */
    // 第五步：判断是否有解并处理可消去可消系数
    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; ++ i)
            if (fabs(a[r][n]) > eps)
                return 2;
        return 1;
    }
    
    // 用i行下面每一行来把i行对应的系数消为0，常数列对应改变
    // 这里i必须从下向上走，因为消i行的某个系数时，必须保证j行其它系数为0了才能保证得到正确的结果，所以要先消下面的系数
    for (int i = n - 1; i >= 0; -- i)
        for (int j = i + 1; j < n; ++ j)
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
            
    return 0;
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
        for (int j = 0; j < n + 1; ++ j)
            cin >> a[i][j];
   
    int t = guass();
   
    if (!t)
    {
        // 此时有唯一解，最终方程的目标格式为每个式子只有一个x且该x前系数为1，所以最后的常数就是解
        for (int i = 0; i < n; ++ i)
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    }
    else if (t == 1) cout << "Infinite group solutions" << endl;
    else cout << "No solution" << endl;
   
    return 0;
}