离散化模板总结
离散化的通俗解释
在学习之前，一直认为离散化和离散数学应该是相关的，但是两者没啥关系
离散化就是把大范围内稀疏的坐标映射到小范围内稠密的坐标(把无限空间中有限的个体映射到有限空间，以此提高算法的时空效率)
离散化的应用条件
- 不需要考虑数据的绝对大小，只需要看它们的相对大小，即数值本身不重要，数据之间的相互次序是关键
- 数值本身和数据之间的相互次序都不是关键，每一个数据仅需要一个唯一标识
离散化实现思路
离线做法
特点: 保序，设离散化前的两数据为
x和y，离散化的对应数据为f(x)``f(y)，若x < y则可以保证f(x) < f(y)
首先将待离散化的数据进行存储，之后采用二分找到其在存储空间中的位置，从而实现将所有数值映射为其在序列中的位置
这样做的前提是待离散化的数据都已经进行了存储，即必须将数据全部进行读取后才可进行离散化
点击查看代码
// 离散化的实现方式是将元素映射为它在序列中的位置(数组下标)
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
// return r; // 映射到0，1，...n-1
// 这里的n指的是总数据个数
}
在线做法
特点: 无法保序
使用哈希，为每一个数值分配一个编号，从而实现从较大值映射为较小值
这样做并不需要保证数据全部读入，可以边读入边处理
点击查看代码
// 将n映射为较小值
#include <unordered_map>
using namespace std;
int cnt;
unordered_map<int, int> id;
int main()
{
int n;
cin >> n;
if (!id.count(n)) id[n] = ++ cnt; // if (id.find(n) == id.end()) id[n] = ++ cnt;
}
应用举例
问题
假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是0。
现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置x上的数加c。
接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数l和r，你需要求出在区间[l, r]之间的所有数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来 n 行，每行包含两个整数x和c。
再接下里 m 行，每行包含两个整数l和r。输入格式：
输出格式
共\(m\)行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。
数据范围
\(-10^9 <= x <= 10^9\)
\(1 <= n, m <= 10^5\)
\(-10^9 <= l <= r <= 10^9\)
\(-10000 <= c <= 10000\)
如果不看数据范围，这道题明显用前缀和就能解决，但是前缀和需要使用数组下标进行坐标存储，x，l，r作为下标，题目所给的数据范围显然是不行的，但是这个下标到底是多少并不重要，重要的是知道它们之间的相对位置关系，比如说修改坐标改的是1和10000，询问的是500和600之间的和，也就是一共就1，500， 600， 10000这四个数，那这四个数如果变成0，1，2，3，对0和1进行修改，然后查询的是2和3和修改1和10000，查询500和600结果是一样的，500和600这个数据本身是多少并不重要，相对位置才重要，所以可以将坐标离散化到一个小区间中，此时的数组下标就可以承受得起了，就可以采用前缀和来做了
代码实现
点击查看代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 10; // 因为修改会涉及到n个坐标，查询会涉及到2*m个坐标，最坏情况是这n+2*m个坐标全都不相等，那么映射后需要的空间最大也就3e5，+10减少边界问题
int n, m;
int a[N];
vector<pair<int, int>> adds, query;// 因为我们需要知道哪些坐标需要离散化，所以修改和查询操作需要先进行保存，不能直接处理了
vector<int> alls; // 保存需要进行离散化的坐标
// 通过二分巧妙实现将稀疏的数据映射到稠密的下标从而实现离散化
int find(int x)
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 将坐标映射到[1, alls.size()]，而二分找到的结果是数组下标，应该是[0, alls.size() - 1]
}
int main()
{
cin >> n >> m;
// 读入修改操作
for (int i = 0; i < n; ++ i)
{
int x, c;
cin >> x >> c;
adds.push_back({x, c});
alls.push_back(x);
}
// 读入查询操作
for (int i = 0; i < m; ++ i)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
query.push_back({l, r});
alls.push_back(l);
alls.push_back(r);
}
// 进行离散化的数据准备
sort(alls.begin(), alls.end()); // 排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去重
// 进行修改操作
for (int i = 0; i < n; ++ i)
{
int x = find(adds[i].first);
a[x] += adds[i].second;
}
// 准备前缀和数组
for (int i = 1; i <= alls.size(); ++ i) a[i] += a[i - 1];
// 进行查询操作
for (int i = 0; i < m; ++ i)
{
int l = find(query[i].first), r = find(query[i].second);
cout << a[r] - a[l - 1] << endl;
}
return 0;
}
