【刷题】BZOJ 3512 DZY Loves Math IV
Description
给定n,m，求
模10^9+7的值。
Input
仅一行，两个整数n,m。
Output
仅一行答案。
Sample Input
100000 1000000000
Sample Output
857275582
数据规模：
1<=n<=105，1<=m<=109，本题共4组数据。
Solution
这题还真是要一点函数基础
设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ，所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)\)
对于一个 \(S(n,m)\) ，寻找它的性质，发现：
- 当 \(\mu(n)=0\) 时，\(S(n,m)=\prod_ip_i^{a_i-1}S(\prod_ip_i,m)\)
- 当 \(|\mu(n)|=1\) 时，\(S(n,m)=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\)
第一个性质很显然吧，类似于线性筛嘛，如果 \(i\%j==0\) ，\(\varphi(ij)=j\times\varphi(i)\)
第二个性质证明如下：
我们试着找出 \(\varphi(in)\) 的式子
设 \(gcd(i,n)=x\) ，同时，\(n=x \times y\) ，由于 \(|\mu(n)|=1\) ，所以 \(gcd(x,y)=1\)
那么，\(\varphi(in)=x\times\varphi(y)\varphi(i)\) ，将 \(x\) 拆成 \(\varphi*1\) 的卷积，那么，\(\varphi(in)=\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(d)\varphi(y)=\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(\frac{x}{d})\varphi(y)\)
因为 \(gcd(x,y)=1\) ，再把 \(\sum\) 外面的 \(\varphi(y)\) 乘进去，变成 \(\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(\frac{xy}{d})\) ，即 \(\varphi(i)\sum_{d|n,d|i}\varphi(\frac{n}{d})\)
那么 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^n\varphi(in)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\sum_{d|n,d|i}\varphi(\frac{n}{d})\)
转换枚举方式，枚举 \(n\) 的约数，\(\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\varphi(id)=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\)
知道了这两个性质，便直接递归求解就好了
当 \(n=1\) 的时候，用杜教筛求解
复杂度的话我不会求啊，大概是 \(S(n,m)\) 式子中 \(n\) 的取值有 \(O(n)\) 种，\(m\) 的取值有 \(O(\sqrt{m})\) 种，杜教筛 \(O(m^{\frac{3}{4}})\) ，\(d\) 的取值 \(O(\sqrt{n})\)
然后最后复杂度是 \(O(n(\sqrt{n}+\sqrt{m})+m^{\frac{3}{4}})\)
然后 \(n\sqrt{m}\) 跑不满之类的，就可以过了
#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=200000+10,Mod=1e9+7;
int cnt,vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],phi[MAXN],s[MAXN],lst[MAXN];
ll ans;
std::vector<int> V[MAXN];
std::map< std::pair<int,int>,int > M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
memset(vis,1,sizeof(vis));
vis[0]=vis[1]=0;
phi[1]=mu[1]=lst[1]=1;
for(register int i=2;i<MAXN;++i)
{
if(vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
mu[i]=-1,phi[i]=i-1,lst[i]=i;
}
for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
{
vis[i*prime[j]]=0;
if(i%prime[j])
{
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
lst[i*prime[j]]=lst[i]*lst[prime[j]];
}
else
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
lst[i*prime[j]]=lst[i];
break;
}
}
}
for(register int i=1;i<MAXN;++i)
{
s[i]=(s[i-1]+phi[i])%Mod;
for(register int j=1;i*j<MAXN;++j)V[i*j].push_back(i);
}
}
inline ll P(int n)
{
if(n<MAXN)return s[n];
std::pair<int,int> pr=std::make_pair(1,n);
if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
ll res=0;
for(register int i=2;;)
{
if(i>n)break;
int j=n/(n/i);
(res+=1ll*(j-i+1)*P(n/i)%Mod)%=Mod;
i=j+1;
}
return M[pr]=((1ll*(1+n)*n/2)%Mod-res+Mod)%Mod;
}
inline ll S(int n,int m)
{
std::pair<int,int> pr=std::make_pair(n,m);
if(n==1)return P(m);
if(m==0)return 0;
if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
if(mu[n]==0)return M[pr]=1ll*(n/lst[n])*S(lst[n],m)%Mod;
ll res=0;
for(register int i=0,lt=V[n].size();i<lt;++i)(res+=1ll*phi[n/V[n][i]]*S(V[n][i],m/V[n][i])%Mod)%=Mod;
return M[pr]=res;
}
int main()
{
int n,m;read(n);read(m);init();
for(register int i=1;i<=n;++i)(ans+=S(i,m))%=Mod;
write(ans,'\n');
return 0;
}
