【刷题】BZOJ 4650 [Noi2016]优秀的拆分

Description

如果一个字符串可以被拆分为 AABBAABB 的形式，其中 AA 和 BB 是任意非空字符串，则我们称该字符串的这种拆分是优秀的。例如，对于字符串 aabaabaa，如果令 A=aabA=aab，B=aB=a，我们就找到了这个字符串拆分成 AABBAABB 的一种方式。一个字符串可能没有优秀的拆分，也可能存在不止一种优秀的拆分。比如我们令 A=aA=a，B=baaB=baa，也可以用 AABBAABB 表示出上述字符串；但是，字符串 abaabaa 就没有优秀的拆分。现在给出一个长度为nn 的字符串 SS，我们需要求出，在它所有子串的所有拆分方式中，优秀拆分的总个数。这里的子串是指字符串中连续的一段。以下事项需要注意：出现在不同位置的相同子串，我们认为是不同的子串，它们的优秀拆分均会被记入答案。在一个拆分中，允许出现 A=BA=B。例如 cccc 存在拆分 A=B=cA=B=c。字符串本身也是它的一个子串。

Input

每个输入文件包含多组数据。输入文件的第一行只有一个整数 TT，表示数据的组数。保证 1≤T≤101≤T≤10。接下来 TT 行，每行包含一个仅由英文小写字母构成的字符串 SS，意义如题所述。

Output

输出 TT 行，每行包含一个整数，表示字符串 SS 所有子串的所有拆分中，总共有多少个是优秀的拆分。

Sample Input

4
aabbbb
cccccc
aabaabaabaa
bbaabaababaaba

Sample Output

3
5
4
7
我们用 S[i,j]S[i,j] 表示字符串 SS 第 ii 个字符到第 jj 个字符的子串（从 11 开始计数）。第一组数据中，共有 33 个子串存在优秀的拆分：S[1,4]=aabbS[1,4]=aabb，优秀的拆分为 A=aA=a，B=bB=b；S[3,6]=bbbbS[3,6]=bbbb，优秀的拆分为A=bA=b，B=bB=b；S[1,6]=aabbbbS[1,6]=aabbbb，优秀的拆分为 A=aA=a，B=bbB=bb。而剩下的子串不存在优秀的拆分，所以第一组数据的答案是 33。第二组数据中，有两类，总共 44 个子串存在优秀的拆分：对于子串S[1,4]=S[2,5]=S[3,6]=ccccS[1,4]=S[2,5]=S[3,6]=cccc，它们优秀的拆分相同，均为A=cA=c，B=cB=c，但由于这些子串位置不同，因此要计算 33 次；对于子串S[1,6]=ccccccS[1,6]=cccccc，它优秀的拆分有 22 种：A=cA=c，B=ccB=cc 和A=ccA=cc，B=cB=c，它们是相同子串的不同拆分，也都要计入答案。所以第二组数据的答案是 3+2=53+2=5。第三组数据中，S[1,8]S[1,8] 和 S[4,11]S[4,11] 各有 22种优秀的拆分，其中 S[1,8]S[1,8] 是问题描述中的例子，所以答案是2+2=42+2=4。第四组数据中，S[1,4]S[1,4]，S[6,11]S[6,11]，S[7,12]S[7,12]，S[2,11]S[2,11]，S[1,8]S[1,8] 各有 11 种优秀的拆分，S[3,14]S[3,14] 有 22 种优秀的拆分，所以答案是 5+2=75+2=7。

Solution

先求两个数组，一个是 \(st[i]\) 代表以 \(i\) 开头的AA串的方案数， \(ed[i]\) 代表以 \(i\) 结尾的AA串的方案数，那么最后的答案就是 \(\sum_{i=1}^{n-1}ed[i]*st[i+1]\)
怎么求这两个数组。枚举AA串中A的长度，标记一些下标为这长度的倍数的关键点；依次考虑相邻两个关键点，找到从这两个关键点开始，一起向前走，最远能走多长使得每一步经过的字符是相同的（就是找最长的向前延伸的相同的串）；同时也找个向后的。找这个东西其实就是正的串的两个后缀的LCP和反的串的两个后缀的LCP，预处理ST表维护。然后如果向前向后的长度加起来大于枚举的A的长度，那么这两个关键点周围一定有AA串的存在（画个图，想一想）
标记一下，最后用前缀和统计就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=30000+10;
int T,n,m,SA1[MAXN],SA2[MAXN],cnt[MAXN],nxt[MAXN],height1[MAXN],height2[MAXN],Mn[2][21][MAXN],st[MAXN],ed[MAXN],lg[MAXN],rk1[MAXN],rk2[MAXN];
ll ans;
char s[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void GetSA(int *SA,int *height,int *rk)
{
	m=300;
	memset(nxt,0,sizeof(nxt));
	for(register int i=1;i<=n;++i)rk[i]=s[i];
	for(register int i=1;i<=m;++i)cnt[i]=0;
	for(register int i=1;i<=n;++i)cnt[rk[i]]++;
	for(register int i=1;i<=m;++i)cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(register int i=n;i>=1;--i)SA[cnt[rk[i]]--]=i;
	for(register int k=1,ps;k<=n;k<<=1)
	{
		ps=0;
		for(register int i=n-k+1;i<=n;++i)nxt[++ps]=i;
		for(register int i=1;i<=n;++i)
			if(SA[i]>k)nxt[++ps]=SA[i]-k;
		for(register int i=1;i<=m;++i)cnt[i]=0;
		for(register int i=1;i<=n;++i)cnt[rk[i]]++;
		for(register int i=1;i<=m;++i)cnt[i]+=cnt[i-1];
		for(register int i=n;i>=1;--i)SA[cnt[rk[nxt[i]]]--]=nxt[i];
		for(register int i=1;i<=n;++i)std::swap(nxt[i],rk[i]);
		rk[SA[1]]=1,ps=1;
		for(register int i=2;i<=n;rk[SA[i]]=ps,++i)
			if(nxt[SA[i]]!=nxt[SA[i-1]]||nxt[SA[i]+k]!=nxt[SA[i-1]+k])ps++;
		if(ps>=n)break;
		m=ps;
	}
	for(register int i=1,j,k=0;i<=n;height[rk[i++]]=k)
		for(k=k?k-1:k,j=SA[rk[i]-1];s[i+k]==s[j+k];++k);
}
inline void init(int *height,int tp)
{
	for(register int i=1;i<=n;++i)Mn[tp][0][i]=height[i];
	for(register int j=1;j<20;++j)
		for(register int i=1;i+(1<<j-1)<=n;++i)Mn[tp][j][i]=min(Mn[tp][j-1][i],Mn[tp][j-1][i+(1<<j-1)]);
}
inline int query(int tp,int l,int r)
{
	if(l>r)std::swap(l,r);l++;
	int k=lg[r-l+1];
	return min(Mn[tp][k][l],Mn[tp][k][r-(1<<k)+1]);
}
int main()
{
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)lg[i]=log(i)/log(2);
	read(T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",s+1);
		n=strlen(s+1);ans=0;
		memset(st,0,sizeof(st));
		memset(ed,0,sizeof(ed));
		GetSA(SA1,height1,rk1);init(height1,0);
		std::reverse(s+1,s+n+1);
		GetSA(SA2,height2,rk2);init(height2,1);
		std::reverse(rk2+1,rk2+n+1);
		for(register int len=1;len<=(n>>1);++len)
			for(register int l=len,r=l+len,x,y;r<=n;l+=len,r+=len)
			{
				x=min(query(1,rk2[l],rk2[r]),len);
				y=min(query(0,rk1[l],rk1[r]),len);
				if(x+y-1<len)continue;
				st[l-x+1]++,st[l+y-len+1]--;
				ed[r-x+len]++,ed[r+y]--;
			}
		for(register int i=1;i<=n;++i)st[i]+=st[i-1],ed[i]+=ed[i-1];
		for(register int i=1;i<=n;++i)ans+=1ll*ed[i]*st[i+1];
		write(ans,'\n');
	}
	return 0;
}