【刷题】BZOJ 2142 礼物
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pici≤105。
Solution
推出求答案的式子：
\(ans=C_{n}^{w_1}C_{n-w_1}^{w_2}C_{n-w_1-w_2}^{w_3}...\)
看 \(n\) 的范围，1e9，那就是要扩展Lucas了
然后？好像就是扩展Lucas的模板题了。。中间用CRT合并
不会扩展Lucas的看这里
（PS：如果把式子拆开，化成这样 \(ans=\frac{n!}{w1!w2!w3!.....(n-\sum_{i=1}^nw_i)!}\mod p)\)，是不是可以更快呢？虽然复杂度是一样的）
#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXM=10;
int p,w[MAXM];
ll ans=1;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b,ll n)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1)res=res*a%n;
a=a*a%n;
b>>=1;
}
return res;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return r;
}
inline ll fac(ll n,ll pi,ll pk)
{
if(!n)return 1;
ll res=1;
for(register ll i=2;i<=pk;++i)
if(i%pi)(res*=i)%=pk;
res=qexp(res,n/pk,pk);
for(register ll i=2;i<=n%pk;++i)
if(i%pi)(res*=i)%=pk;
return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
inline ll inv(ll n,ll Mod)
{
ll d,x,y;
exgcd(n,Mod,x,y);
return (x+Mod)%Mod==0?Mod:(x+Mod)%Mod;
}
inline ll C(ll n,ll m,ll pi,ll ki,ll pk)
{
if(n<m)return 0;
ll Mul1=fac(n,pi,pk),Mul2=fac(m,pi,pk),Mul3=fac(n-m,pi,pk);
ll k=0;
for(register ll i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
for(register ll i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
for(register ll i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
return Mul1*inv(Mul2,pk)%pk*inv(Mul3,pk)%pk*qexp(pi,k,pk)%pk;
}
inline ll CRT(ll B,ll W)
{
return B*inv(p/W,W)%p*(p/W)%p;
}
inline ll exLucas(ll n,ll m)
{
ll res=0,tmp=p;
for(register ll i=2;i<=tmp;++i)
if(tmp%i==0)
{
ll ki=0,pk=1;
while(tmp%i==0)tmp/=i,pk*=i,ki++;
(res+=CRT(C(n,m,i,ki,pk),pk))%=p;
}
return res;
}
int main()
{
read(p);
int n,m,tot=0;
read(n);read(m);
for(register int i=1;i<=m;++i)read(w[i]),tot+=w[i];
if(tot>n)
{
puts("Impossible");
return 0;
}
for(register int i=1;i<=m;++i)(ans*=exLucas(n,w[i]))%=p,n-=w[i];
write(ans,'\n');
return 0;
}
