【刷题】BZOJ 4573 [Zjoi2016]大森林
Description
小Y家里有一个大森林，里面有n棵树，编号从1到n。一开始这些树都只是树苗，只有一个节点，标号为1。这些树都有一个特殊的节点，我们称之为生长节点，这些节点有生长出子节点的能力。小Y掌握了一种魔法，能让第l棵树到第r棵树的生长节点长出一个子节点。同时她还能修改第l棵树到第r棵树的生长节点。她告诉了你她使用魔法的记录，你能不能管理她家的森林，并且回答她的询问呢？
Input
第一行包含 2 个正整数 n,m，共有 n 棵树和 m 个操作。接下来 m 行，每行包含若干非负整数表示一个操作，操作格式为：
0 l r 表示将第 l 棵树到第 r 棵树的生长节点下面长出一个子节点，子节点的标号为上一个 0 号操作叶子标号加 1（例如，第一个 0 号操作产生的子节点标号为 2）， l 到 r 之间的树长出的节点标号都相同。保证 1≤l≤r≤n 。
1 l r x 表示将第 l 棵树到第 r 棵树的生长节点改到标号为 x 的节点。对于 i (l≤i≤r)这棵树，如果标号 x的点不在其中，那么这个操作对该树不产生影响。保证 1≤l≤r≤n ， x 不超过当前所有树中节点最大的标号。
2 x u v 询问第 x 棵树中节点 u 到节点 v 点的距离，也就是在第 x 棵树中从节点 u 和节点 v 的最短路上边的数量。保证1≤x≤n，这棵树中节点 u 和节点 v 存在。N<=105,M<=2*105
Output
输出包括若干行，按顺序对于每个小Y的询问输出答案
Sample Input
5 5
0 1 5
1 2 4 2
0 1 4
2 1 1 3
2 2 1 3
Sample Output
1
2
Solution
很巧妙的一道题目
这道题确实是LCT加“虚点”，但不要想复杂了，这个虚点跟虚树没半毛钱关系，只是这道题YY出来的一个东东
首先明白对于同一棵树，询问的操作永远可以放在修改操作之后，因为树的边只会增加，不会减少或变更。所以对于一棵树，直接考虑它的最终状态，然后处理询问
考虑只建一棵树，想办法在遍历的过程中快速从前面一棵树的形态变成接下来一棵树的形态
发现，如果先让所有的长出来的节点接在第一个生长节点（就是根）上，那么如果中间变更了生长节点，可以直接把在变更之后生长出的节点全部换根，变成新的生长节点的儿子。这个正好是新的形态。而对于 \(r\) 之后的，也就是没有变这个生长节点的树们，可以直接把换根过去的节点再换回来就变成应该的状态了
所以YY出了一个虚点，实际上就是没有点权的点
这个点可以用来当作它出现之后生长出的节点的根，换根的时候，直接带上这个虚点一起换，这样就只要改变两条边，就只是常数复杂度了
然后开始建最开始的树
对于每次长节点，就是在最近一次出现的虚点下加一个点，点权为1
对于每次有要更改节点的操作，暂时不进行更改（因为有个 \(l\) 到 \(r\) 的范围嘛），只是在上一个虚点之下再建一个虚点，之后的实点都加在这个新的虚点之下，保证换根的优秀复杂度
于是就可以离线了，输入操作的时候把初始树建好，并且对于每个更换节点的操作拆成两个操作，一个换根过去，一个换根回来
扫一遍就做完了
巧妙
#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,MAXM=200000+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,L[MAXM],R[MAXM],realcnt,nowaux,size,pt[MAXM+MAXN],pcnt,ans[MAXM],anscnt;
struct data{
int opt,ps,u,v;
inline bool operator < (const data &A) const {
return ps<A.ps||ps==A.ps&&opt<A.opt;
};
};
data p[MAXM<<1];
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
struct LCT{
int ch[MAXN+MAXM][2],fa[MAXN+MAXM],rev[MAXN+MAXM],sum[MAXN+MAXM],val[MAXN+MAXM],stack[MAXN+MAXM],cnt;
inline bool nroot(int x)
{
return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;
}
inline void reverse(int x)
{
std::swap(lc(x),rc(x));
rev[x]^=1;
}
inline void pushup(int x)
{
sum[x]=sum[lc(x)]+sum[rc(x)]+val[x];
}
inline void pushdown(int x)
{
if(rev[x])
{
if(lc(x))reverse(lc(x));
if(rc(x))reverse(rc(x));
rev[x]=0;
}
}
inline void rotate(int x)
{
int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);
if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;
fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;
fa[ch[x][c^1]=f]=x;
fa[x]=p;
pushup(f);
pushup(x);
}
inline void splay(int x)
{
cnt=0;
stack[++cnt]=x;
for(register int i=x;nroot(i);i=fa[i])stack[++cnt]=fa[i];
while(cnt)pushdown(stack[cnt--]);
for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])
if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);
pushup(x);
}
inline int access(int x)
{
int y=0;
for(;x;x=fa[y=x])splay(x),rc(x)=y,pushup(x);
return y;
}
inline void link(int x,int y)
{
splay(x);fa[x]=y;
}
inline void cut(int x)
{
access(x);splay(x);lc(x)=fa[lc(x)]=0;pushup(x);
}
};
LCT T;
#undef lc
#undef rc
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
int main()
{
read(n);read(m);
pt[++realcnt]=++size;
nowaux=++size;
T.val[1]=1;
L[1]=1;R[1]=n;
T.link(nowaux,1);
for(register int i=1;i<=m;++i)
{
int opt;
read(opt);
if(opt==0)
{
int l,r;
read(l);read(r);
pt[++realcnt]=++size;
L[realcnt]=l,R[realcnt]=r;
T.val[size]=1;
T.link(size,nowaux);
}
if(opt==1)
{
int l,r,x;
read(l);read(r);read(x);
chkmax(l,L[x]);chkmin(r,R[x]);
if(l>r)continue;
T.link(++size,nowaux);
p[++pcnt]=(data){i-m,l,size,pt[x]};
p[++pcnt]=(data){i-m,r+1,size,nowaux};
nowaux=size;
}
if(opt==2)
{
int x,u,v;
read(x);read(u);read(v);
p[++pcnt]=(data){++anscnt,x,pt[u],pt[v]};
}
}
std::sort(p+1,p+pcnt+1);
for(register int i=1;i<=pcnt;++i)
if(p[i].opt>0)
{
int res=0,lca;
T.access(p[i].u);T.splay(p[i].u);res+=T.sum[p[i].u];
lca=T.access(p[i].v);T.splay(p[i].v);res+=T.sum[p[i].v];
T.access(lca);T.splay(lca);res-=(T.sum[lca]<<1);
ans[p[i].opt]=res;
}
else T.cut(p[i].u),T.link(p[i].u,p[i].v);
for(register int i=1;i<=anscnt;++i)write(ans[i],'\n');
return 0;
}
