【刷题】BZOJ 5091 [Lydsy1711月赛]摘苹果

Description

小Q的工作是采摘花园里的苹果。在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路，苹果树编号依次为1到n，每条道路的两端连接着两棵不同的苹果树。假设第i棵苹果树连接着d_i条道路。小Q将会按照以下方式去采摘苹果：
1.小Q随机移动到一棵苹果树下，移动到第i棵苹果树下的概率为d_i/(2m)，但不在此采摘。
2.等概率随机选择一条与当前苹果树相连的一条道路，移动到另一棵苹果树下。
3.假设当前位于第i棵苹果树下，则他会采摘a_i个苹果，多次经过同一棵苹果树下会重复采摘。
4.重复第2和3步k次。
请写一个程序帮助计算小Q期望摘到多少苹果。

Input

第一行包含三个正整数n,m,k(n,k<=100000,m<=200000)，分别表示苹果树和道路的数量以及重复步骤的次数。
第二行包含n个正整数，依次表示a_1,a_2,...,a_n(1<=a_i<=100)。
接下来m行，每行两个正整数u,v(1<=u,v<=n,u!=v)，表示第u和第v棵苹果树之间存在一条道路。

Output

若答案为P/Q，则输出一行一个整数，即P*Q^ {-1} mod 1000000007(10^9+7)。

Sample Input

3 4 2
2 3 4
1 2
1 2
2 3
3 1

Sample Output

750000011
// 期望为5.75=23/4=(23*250000002) mod 1000000007=750000011。

Solution

这是一道性质题
首先我们把题目中的每一条无向边变成相应的两条有向边
我们设 \(f(i,j)\) ，表示第 \(i\) 次操作到了 \(j\) 号点的概率， \(d(i)\) 表示 \(i\) 点的出度数，也是入度数（两者相等）
那么显然有
\(f(i,j)=\sum_{(u,j) \in E}\frac{f(i-1,u)}{d(u)}\)
\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{k}f(j,i)*A(i)\)
然后我们开始观察
对于所有的 \(i\) ，必然 \(f(0,i)=\frac{d(i)}{2m}\)
因为边是有向的（转化后），所以走一条边的概率就等于这条边的出发点的概率除以它的出度度数
所以第一次走边的时候，每一条边被走到的概率就为 \(\frac{d(i)}{2m}*\frac{1}{d(i)}=\frac{1}{2m}\)
然后我们就可以推 \(f(1,i)\)， \(f(1,i)=\frac{d(i)}{2m}\)，因为在第一次操作中，所有指向 \(i\) 的边被走到的概率都是 \(\frac{1}{2m}\) ，而 \(i\) 有 \(d(i)\) 个入度，所以走到 \(i\) 的概率就是 \(\frac{1}{2m}\)
然后同理一直推（其实是一模一样的过程），我们就知道对于任意的 \(f(i,j)\) ， \(f(i,j)\) 都等于 \(\frac{d(j)}{2m}\)
所以
\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{k}f(j,i)*A(i)=k\sum_{i=1}^n\frac{d(i)*A(i)}{2m}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=100000+10,Mod=1e9+7;
ll n,m,k,A[MAXN],degree[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	read(n);read(m);read(k);
	for(register int i=1;i<=n;++i)read(A[i]);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u,v;
		read(u);read(v);
		degree[u]++;degree[v]++;
	}
	ll ni=qexp(2*m,Mod-2);
	ll ans=0;
	for(register int i=1;i<=n;++i)(ans+=A[i]*degree[i]%Mod*ni%Mod)%=Mod;
	(ans*=k)%=Mod;
	write(ans,'\n');
	return 0;
}