【总结】莫比乌斯反演

这是一篇有关莫比乌斯反演的总结

莫比乌斯反演是什么？

我也说不清

其实做完了这么多题后，我对莫反的理解就只是两个式子

然后在学莫反的过程中了解到了许许多多的套路，有用

最基础的，两个式子

我们假设有两个函数$F(n)$和$f(n)$

如果他们满足$$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$$

那么$$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$$

如果他们满足$$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$$

那么$$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$$

其实式子很容易记

个人认为莫反真正有用的也就这两个式子了，那些性质理解了就行了，至于证明，OI从来没有证明

所以本篇不记录那些性质和证明，主要记录莫反到底怎么用，还有一些套路

1 莫反是什么时候用的
- 一般用于推数论公式之中。有一些题目是数学方面的，题目含义转换后可能答案就是一个式子的值，可是那个式子在一定复杂度内算不出来怎么办？那么就要不断降低或省去那些需要枚举的地方。这就是我们俗称的推式子
- 而在推式子的过程中就有可能需要使用莫反。大部分需要用莫反的标志是所谓的$gcd$
2 函数的设计
- 函数的设计是一个关键点，也就是定义里的$F(n)$和$f(n)$
- 当你推式子被$gcd$之类的卡住了的时候，不妨试一试莫反，设计出来的$f(n)$一般就是你被卡住的那一段式子，至于$F(n)$，必须要和$f(n)$相呼应，即要满足两对式子的条件，这样才能反演。感觉上，第二对式子，就是倍数关系那一对用得多一些
- 设计出的$F(n)$最好能在进行一定推导后变成形式非常简单的东东，最好是$O(1)$计算的，反演给$f(n)$就很好用，不然反演就没有什么实质性的用处（当然不排除一些特殊用法）

    for(register int i=1;;)
    {
        	if(i>n)break;
        	int j=n/(n/i);	
        	ans+=......;
        	i=j+1;
    }

设$d(x)$为$x$约数个数和，那么$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)=1]$
经常性的改变枚举方式，只要枚举东西的本质相同，就放心去变（例如：$\sum_{n|d}$是枚举$n$的倍数，然后使用$d$，那么我们不如变成$\sum_{k=1}^{limit_{up}}$枚举$d$是$n$的$k$倍，然后使用$d$变成使用$nk$）
当式子中（多半是分母）出现两个字母$id$相乘的时候，不妨设$T=id$，然后把式子变成主要关于枚举$T$的
当式子中有东西可以变成整除分块，后面前缀和的部分不能在复杂度内处理完的时候，多半会用杜教筛，不妨试一试
$\sum_{i=1}^n\sum_{n|d}$暴力求是$nlnn$的，而不是$n^2$
式子中如果有$\sum_{...}^{...}\sum_{...}^{...}[...]$，那么我们只需要枚举满足$[...]$的对数就可以了，其它的都是没有贡献的
记住一些强大的公式，比如[洛谷 P3768 简单的数学题]中链接的那些

这些套路可能直接说并不是很清楚，可以借助后文的例题去理解

这些都是我最近练习的题目，有些很经典，有些很近代

大体上应该是按由易到难的顺序，而且题目之间可能会有关联，也会按顺序循序渐进地出现套路与方法

所以建议按照给出的顺序观看

注意函数的设计和式子的推法

（点击链接，看具体内容）

正好十道题，见证我初学莫比乌斯反演的历程

从此，莫比乌斯反演的学习告一段落

要开始学习其它的东西了，以追赶他人的步伐

现在，继续努力！

posted @ 2018-03-16 19:17 HYJ_cnyali 阅读(254) 评论(2) 编辑收藏举报

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