【刷题】BZOJ 2759 一个动态树好题

Description

有N个未知数x[1..n]和N个等式组成的同余方程组：

x[i]=k[i]*x[p[i]]+b[i] mod 10007

其中，k[i],b[i],x[i]∈[0,10007)∩Z

你要应付Q个事务，每个是两种情况之一：

一.询问当前x[a]的解

A a

无解输出-1

x[a]有多解输出-2

否则输出x[a]

二.修改一个等式

C a k[a] p[a] b[a]

Input

N

下面N行，每行三个整数k[i] p[i] b[i]

Q

下面Q行，每行一个事务，格式见题目描述

Output

对每个询问，输出一行一个整数。

对100%的数据，1≤N≤30000，0≤Q≤100000，时限2秒，其中询问事务约占总数的80%

Sample Input

5

2 2 1

2 3 2

2 4 3

2 5 4

2 3 5

5

A 1

A 2

C 5 3 1 1

A 4

A 5

Sample Output

4276

7141

4256

2126

Solution

将 \(i\) 的父亲设为 \(p_i\) ，那么可以得到基环树森林。对于每一基环树，我们只要通过环的部分求出特解，那么整颗树的解都可以得到。

朴素的想法是扫一遍图，将所有解存下来，应对询问

但现在有修改操作，也就是图的形态会发生改变，所以用LCT来应对图的修改。

现在图上有环，不能直接上LCT，那么将环上任意一条边删掉并记录下来，可以知道，删去的那条边的起点由于没有了父亲，所以它一定是根。于是我们知道，我们得到的每一棵树的根在原来的基环树中一定是在环上的。

由于一个同余方程可以整体带入另一个同余方程，所以LCT每个节点除了存自己的 \(k,b\) 之外，还存另一组 \(k',b'\) ，代表splay子树中深度最小的点的方程不断地整体带入，带入至深度最大的方程，所组成的方程的 \(k\) 和 \(b\) 。

那么在LCT中我们要询问一个方程的解，首先要把环上的方程给解出来，那么就先将原树的根(findroot)旋到顶端，然后根据存下的边的终点找出环上的所有点(access)，然后就可以通过节点上的记录的信息求解。之后在将根的特解带入要求的方程就可以了。

修改的话，就是正常的link和cut，注意好环的改变就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define REP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a<=a##end;++a)
#define DEP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a>=a##end;--a)
const int MAXN=30000+10,Mod=1e4+7;
int n,q,in[MAXN],vis[MAXN];
struct data{
	int k,b;
	inline data operator + (const data &A) const {
		return (data){k*A.k%Mod,(b*A.k%Mod+A.b)%Mod};
	};
	inline int calc(int x){
		return (k*x+b)%Mod;
	};
};
data eq1,eq2;
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
struct LinkCut_Tree{
	int ch[MAXN][2],fa[MAXN],sp[MAXN];
	data val[MAXN],sum[MAXN];
	inline bool nroot(int x)
	{
		return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;
	}
	inline void pushup(int x)
	{
		sum[x]=sum[lc(x)]+val[x]+sum[rc(x)];
	}
	inline void rotate(int x)
	{
		int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);
		if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;
		fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;
		fa[ch[x][c^1]=f]=x;
		fa[x]=p;
		pushup(f);
		pushup(x);
	}
	inline void splay(int x)
	{
		for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])
			if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);
	} 
	inline void access(int x)
	{
		for(register int y=0;x;x=fa[y=x])splay(x),rc(x)=y,pushup(x);
	}
	inline int findroot(int x)
	{
		access(x);splay(x);
		while(lc(x))x=lc(x);
		splay(x);
		return x;
	}
	inline void link(int x,int y)
	{
		access(x);splay(x);fa[x]=y;
	}
	inline void cut(int x)
	{
		access(x);splay(x);
		fa[lc(x)]=0;ch[x][0]=0;pushup(x);
	}
};
LinkCut_Tree T;
#undef lc
#undef rc
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void dfs(int x)
{
	in[x]=vis[x]=1;
	if(in[T.fa[x]])T.sp[x]=T.fa[x],T.fa[x]=0;
	if(!vis[T.fa[x]])dfs(T.fa[x]);
	in[x]=0;
}
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int r=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return r;
}
inline int query(int x)
{
	T.access(x);T.splay(x);eq1=T.sum[x];
	int r=T.findroot(x),f=T.sp[r];
	T.access(f);T.splay(f);eq2=T.sum[f];
	if(eq2.k==1)return eq2.b?-1:-2;
	if(eq2.k==0)return eq1.calc(eq2.b);
	int qx,qy;exgcd(eq2.k-1,Mod,qx,qy);
	return eq1.calc((Mod-qx)%Mod*eq2.b%Mod);
}
inline bool loop(int x,int r)
{
	int f=T.sp[r];
	if(f==x)return true;
	T.access(f);T.splay(f);T.splay(x);
	return T.nroot(f);
}
inline void update(int x,int k,int p,int b)
{
	T.access(x);T.splay(x);
	T.val[x]=(data){k,b};T.pushup(x);
	int r=T.findroot(x);
	if(r==x)
	{
		if(T.findroot(p)==r)T.sp[x]=p;
		else T.sp[x]=0,T.link(x,p);
	}
	else
	{
		if(loop(x,r))T.cut(x),T.link(r,T.sp[r]),T.sp[r]=0;
		else T.cut(x);
		if(T.findroot(p)==x)T.sp[x]=p;
		else T.link(x,p);
	}
}
int main()
{
	read(n);T.sum[0]=(data){1,0};
	REP(i,1,n)
	{
		int k,p,b;read(k);read(p);read(b);
		T.fa[i]=p;T.val[i]=T.sum[i]=(data){k,b};
	}
	REP(i,1,n)if(!vis[i])dfs(i);
	read(q);
	while(q--)
	{
		char opt[2];scanf("%s",opt);
		if(opt[0]=='A')
		{
			int x;read(x);
			printf("%d\n",query(x));
		}
		if(opt[0]=='C')
		{
			int x,k,p,b;read(x);read(k);read(p);read(b);
			update(x,k,p,b);
		}
	}
	return 0;
}