B树的删除

B树的删除自己弄了好长时间，才有一点点的眉目，特此记下来，以供以后复习：

一、总之两条原则：

    与插入情况相对称，除了根节点外（根节点个数不能少于1），B树的关键字数不能少于t-1个，对于简单的删除情况，我们定位到该关键字所在的某个结点中，如果这个节点中关键字个数恰好是t-1，如果直接删除这个关键字，就会违反B树的规则；这时我们可以考虑两种两种处理方案：

A、把这个结点与其相邻结点合并：合并时需要把父节点的一个关键字加进来；

    适合的情况：其相邻结点只有t-1个关键字，其父节点至少有t个关键字，否则就会违反B树的规则；

B、从相邻结点借一个关键字过来，借的过程中，需要中转父节点

    适合情况：相邻节点至少有t个关键字

二、为了避免类似插入要进行的回溯

解决方案：我们在从树根向下搜索关键字的过程中，凡是遇到途径的节点，如果该节点的关键字数是t-1，则我们要想办法从其它地方弄一个关键字过来，使得该节点的关键字数至少为t；对与根节点，如果根节点只有1个关键字，且两个子女只有t-1个关键字(下面的方法2)，就将两子女合并......生成新的根节点（这是B树高度下降的唯一方式），其余情况和普通内结点一样！

弄一个关键字方法：

    1、如果相邻结点有的话就从相邻结点通过父节点中转；

    2、如果相邻节点都没有的话，说明相邻结点都只有t-1个关键字，就直接与相邻结点合并以满足要求；

三、步骤：

1、首先沿根节点进行处理：访问到根节点，如果根节点只有一个关键字，且其左右子女只有t-1个关键字，则要把两子女合并，根节点的关键字下移，合并后的节点作为B树新的根节点。（这也是B树高度下降的唯一方式）；然后在继续确定key所在的子树，删除关键字key;

2、如果访问到的结点是叶子结点（能保证此叶节点一定有t个关键字，删除key后仍然保持B树的性质），则在叶子结点中寻在key值并删除之，否则无key值；

3、如果访问到的结点是内结点X

    1）找到关键字key在x中（能保证该结点一定有t个关键字）。假设关键字key在此节点的位置i处，c(i)[x]为其左邻居left，c(i+1)[x]为其右邻居right（两者都存在）

    2）如果某一个邻居结点的关键字个数>=t，则找到以该邻居结点为根节点的子树中最小或最大关键字k'(key的后继或者前驱），然后递归的删除k'，最后在x中用k'代替key；（这里面的前驱和后继，视情况而定）；

    3）如果两个邻居节点的关键字个数都== t-1，则将这两个邻居合并为一个新节点y，然后关键字key下移到合并后的节点y中，再递归删除y中的key；

4、如果关键字不在x中，则key必在以c(i)[x]为根的某个子树中（x结点至少有t个关键字），记current = c(i)[x] 

    1）如果current结点的的关键字个数>= t，下降至current，递归寻找key然后删除之；

    2）current结点的关键字个数 == t-1，找到该节点的邻居结点left == c(i-1)[x](i==1时不存在)， y == c(i+1)[x] (i== x->keyNum +1 时不存在)，这时就有两种情况：

        a、此节点的邻居（left、right）中有一个结点至少有有t个关键字，可从通过邻居中转借父节点一个关键字；

        b、此节点的邻居（left、right）都只有t-1个关键字，只能将此节点和其中一个结点合并，并下移父节点x的一个关键字（因为x结点至少有t个关键字，少一个关键字否也能保证B树的性质），接着下移至current，递归寻找key然后删除之；

四、给图进行解答：

4.1、

4.2 现在操作都转移到BTree_Delete_NonOne(x, key)函数中，进入这个函数的前提是x结点的关键字个数必>= t；对于此函数我们又要另外分几种情况进行谈论：

4.2.1、对情况A进行讨论：

4.2.2、对情况B进行讨论：

我在写程序的时候，差点忽略了以下重要的一点：

最后一种情况BTree_MergeNode(x, i-1, left, current)执行后，记住以current指向的结点已经被销毁，这个时候做个操作 : current = left ，然后在对current所指向的结点递归调用BTree_Delete_NonOne(current, key);

5、总结

以上便是B树删除一个结点的总过程，在这个过程中我们：

    首先讨论了根节点的特殊情况，并且它也是B树高度下降的唯一途径；

    其实讨论了BTree_Delete_NonOne(x, key)函数，对其两种大情况进行了讨论，同时对第二种大情况又分了两种case进行了讨论，并且这两种case中又分了好多个case；在这些不同的case中我们用到了：

1）BTree_MergeNode(x, i, y, z) 函数：将x结点的两个相邻的子女y、z进行合并，同时适当改变x结点；

2）BTree_Shift_RightChild(x, i, left, current)函数：将x结点i处的关键字移动到current第一个位置处，将左邻居最后一个关键字移动到x结点i处（还要做其余指针的处理）；

3）BTree_Shift_LeftChild(x, i, current, right)函数：通过x结点给current结点增加一个关键字；

4）BTree_Successor(x)函数：寻找B树中最小的关键字（用在程序里面就是寻找某个关键字的后继），x是B树的根节点；

5）BTree_Precursor(x)函数：寻找B树中最大的关键字（用在程序里面就是寻找某个关键字的前驱），x是B树的根节点；

    等过几天我再写一篇blog将这些操作的伪代码附上，并贴上自己写的程序，加油加油加油！！！！！！

    最后，经过我的理解，B树的删除，不管是key关键字是在内结点还是在叶结点，都是在“叶节点”进行删除：

1）key关键字在叶节点：略过

2）key关键字在内结点：

case1：找到其前驱或者后继（这些前驱和后继必在叶节点上），然后递归删除这些前驱和后继，最后在用前驱和后继代替key所在的位置，这些操作其实可以看做在“叶节点上”删除key；

我将在随后几天的时间里写成这些函数的伪代码，同时将自己的程序附上；

case2：将其左右邻居合并成一个结点y，key关键字下降到结点y中，然后在调用BTree_Delete_NonOne(y, key)，返回到原来的问题：y是叶节点，就在叶节点中删除key，y不是叶节点，又返回到2）这种情况；

3）key关键字在不在内结点，key关键字必在以该内结点的某个子女为根节点的子树上：

case1：该子女结点关键字个数>=t，调用BTree_Delete_NonOne(子女, key)，递归寻找key并删除，又回到原来的大问题；

case2：该子女结点关键字个数== t-1，从其关键字结点个数>=t的邻居结点借一个关键字过来，否则与其邻居结点合并，在调用BTree_Delete_NonOne(子女, key)，递归寻找key并删除，又回到原来的大问题；

欢迎大家指出错误！

 

参考文献：

《算法导论》第18章 B树

http://blog.csdn.net/swordmanwk/article/details/6549480

http://blog.chinaunix.net/uid-20196318-id-3030529.html