数据链路层的检错与纠错

通讯链路都不是完全理想的。比特在传输过程中可能会产生比特差错，即1可能变成0，0也可能变成1

1帧包含m个数据位(即报文)和r个冗余位(即校验位)。假设帧的总长度为n，则有 n = m + r。
包含数据和校验位的n位单元，通常称为n位码字

奇偶校验

\(\color{red}{奇偶校验只能检测出错误，而无法确定错误数据位具体是哪一位，因此无法纠错}\)
校验依据：判断传输的一组二进制数据中"1"的个数是奇数还是偶数
奇校验：如果以二进制数据中的"1"的个数是奇数为依据，则是奇校验
偶校验：如果以二进制数据中的"1"的个数是偶数为依据，则是偶校验
\(\color{green}{说明：采用何种校验必须事先规定好，通常传输的数据会专门设置一个奇偶校验位，用它来确保发送出去的二进制数据中的"1"的个数为奇数或偶数。}\)

例如：发送一组8位二进制数，假定第一位为奇偶校验位，后7位为数据位，采用奇校验
1、当发送数据是b'0000111时，发送数据中的"1"有3个，为奇数。此时校验码就为"0"，实际发出的数据为b'00000111;
2、当发送数据时b'0001100时，发送数据中的"1"有2个，为偶数。此时校验码就为"1"，实际发出的数据为b'10001100

海明码

海明码是一种多重奇偶检错系统，它具有检错和纠错功能。海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加奇偶校验位组成的。每一个这种奇偶校验位和信息为被编在传输码字的特定位置上。这种系统组合能找出错误出现的位置，无论是原有信息位还是附加校验位

海明距离：两个码字中不相同的二进制位的个数
两个码字的码距：一个编码系统中任意两个合法编码(码字)之间不同的二进制数位数
编码系统的码距：整个编码系统中任意两个码字的码距的最小值
误码率：传输错误的比特占所传输比特总数的比率

海明码的编码方式

比如：假设需要传输的数据码是"1100"
1、根据公式：计算k = 3,即需要3个校验位

\[2^k >= m + k + 1 \]

m为信息位，k为校验位
2、校验位按照2^i，即2的次幂，如，1，2，4，8，16，32...留出来，一会填检验码

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0		0

3、需要确认H1、H2、H4这三个校验位都来校验那些2位置
4、将1、2、4的二进制码写出来，最高位补到3位，前面算的k = 3

1	2	4
001	010	100

5、将0替换为*，作为通配符表，如下

1	2	4
**1	*1*	1**

5、将1-7的二进制列出来

1	2	3	4	5	6	7
001	010	011	100	101	110	111

6、将这几个数与上面的通配符表进行匹配(把有与通配表1相同位置的数放一列)

1	2	4
**1	*1*	1**
001(1)	010(2)	100(4)
011(3)	011(3)	101(5)
101(5)	110(6)	110(6)
111(7)	111(7)	111(7)

7、因此我们可以确定：
H1负责H1、H3、H5、H7的校验
H2负责H2、H3、H6、H7的校验
H3负责H4、H5、H6、H7的校验

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0		0

7、用偶校验法，求出校验位是"1"还是"0"
H3、H5、H7的"1"的个数为奇数，因此H1=1
H3、H6、H7的"1"的个数为偶数，因此H2=0
H5、H6、H7的"1"的个数为偶数，因此H3=0
8、至此我们得出了完整的海明码

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
1	1	0	\(\color{red}{0}\)	0	\(\color{red}{0}\)	\(\color{red}{1}\)

9、查错(|表示按位异或)
第一组p1 = H1 | H3 | H5 | H7
第二组p2 = H2 | H3 | H6 | H7
第三组P3 = H4 | H5 | H6 | H7
10、画图

1）如果编码完全正确，那么p1、p2、p3的结果都是0
2）如果p1=1,p2=0,p3=0，则说明p2和p3组的成员2、3、4、5、6、7都没出错，则H1错误
3）以此类推

CRC编码

CRC编码，是指循环冗余码校验，它是利用除法及余数的原理来作错误侦测（Error Detecting）的。

它是利用除法及余数的原理来作错误侦测（Error Detecting）的。实际应用时，发送装置计算出CRC值并随数据一同发送给接收装置，接收装置对收到的数据重新计算CRC并与收到的CRC相比较，若两个CRC值不同，则说明数据通讯出现错误。

生成CRC校验码

例如：假设原始信息串为"10110"，CRC的生成多项式为

\[G(x) = x^4 + x + 1 \]

求CRC校验码
1、因多项式最高次幂为4，所以CRC校验码为4位
2、在原始信息后"添0",即：10110\(\color{red}{0000}\)
3、计算生成多项式

\[G(x) = x^4 + x + 1 = 1*x^4 + 0*X^3 + 0*x^2 + 1*x^1 + 1*x^0 = 10011 \]

4、使用生成多项式除。利用模2除法。

得到余数"1111"。
\(\color{red}{注意：余数如果不足4位，则余数左边用若干个0补齐。如求得余数位"11"，检验位为"4"，则补2个0得到"0011"}\)
5、将余数添加到原始信息后
上例中，原始信息为"10110",添加余数"1111"后，结果为"101101111"

CRC校验

CRC校验过程与生成过程类似，接收方收了带校验码和的帧后，用多项式G(x)来除。余数为0，则表示信息无错；否则要求发送方进行重传