等价、合同、相似、正交变换；二次型,正定,惯性指数

方阵的变换有以下几种：
等价变换：方阵A右乘一个满秩方阵P，左乘个满秩方阵Q，P和Q没有任何约束关系，这就是等价变换。等价变换是保秩变换。当对P和Q有一定约束时又有一些特殊的变换。
合同变换：方阵A右乘一个满秩方阵P，左乘个方阵Q=P的转置，这就是合同变换。对称阵的合同变换永远是对称阵，标准型为对角阵，元素是1，-1和0。1和-1的个数分别为正负惯性指数。
相似变换：方阵A右乘一个满秩方阵P，左乘个方阵Q=P的逆，这就是相似变换。如果方阵A有n个线性无关的特征向量，并由这n个特征向量组成变换阵P，那么方阵A可相似对角化，对角阵元素为这些特征向量对应的特征值。不是所有方阵都可以相似对角化，即使在复数域内也不行，但对称阵一定可以相似对角化。
正交变换：如果变换方阵P的逆等于P的转置，那么变换方阵P就是正交阵，这种变换既是相似变换又是合同变换，称之为正交变换。注意这时变换成的对角阵的元素一定是特征值，而不是1，-1和0，有的教材为区别合同变换的标准形，而称之为规范型。在工程应用中，我们尽可能进行正交变换，这样在逆变换时就非常简单了。比如离散傅立叶变换就是正交变换。

 

二次型,正定,惯性指数