二元函数求极值判别式AC-B^2

二元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?
还有就是当AC-B^2＞0时，为什么A＞0有极小值，A＜0有极大值？

这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ,这里h为余项

 

f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)

多看,其义自见.

 

当H = AC-B^2 = 0时,必须借助别的方法或更高阶的偏导数来判别,依据是多元函数的Taylor公式

 

设：二元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值
如果：∆>0
(1) A>0,f(x0,y0) 为极小值；这是一个判断的方法