自然常数e的含义

自然常数e的含义

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  e是一个重要的常数,但是它的直观含义却不像 π 那么明了。我们都知道,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数被称为圆周率,记作 π = 3.14159......可是e代表什么呢?

  e是“指数”(exponential)的首字母,也是欧拉名字的首字母。和圆周率 π 及虚单位 i 一样,e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布·伯努利,他开始尝试计算lim(1+1/n)^n 的值,1727年欧拉首次使用小写字母 “e” 表示这常数,此后遂成标准。

  e有时被称为自然常数(Natural constant),是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。

  以e为底的对数称为自然对数(Natural logarithm),数学中使用自然(Natural)这个词的还有自然数(Natural number)。对于这个自然(Natural)如何理解,就需要发挥你的想象力了!

e是增长的极限

  简单来说,e就是增长的极限!

  下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:

  1. 某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下,那么很显然,这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

      growth = 2 * X (X表示天数)

  改写:

      growth = (1+100%) * X   (100%表示单位时间内(24小时)的增长率)

  2. 根据细胞生物学,每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,平均会新产生一半原数量的新细胞,新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。因此一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:

      

  即在一个单位时间内,这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

  

  3. 若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞,新生细胞立即具备独立分裂的能力,那就可以将1天分成3个阶段,在一天内时间细胞的总数会增至为:

               

 

  4. 实际上,这种分裂现象是不间断、连续的,每分每秒产生的新细胞,都会立即和母体一样继续分裂,一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢?答案是:

                    

 

  当增长率为100%保持不变时,在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值 。

  这个值是自然增长的极限,是“自然律”的精髓所在,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

                 

 

你不会自成“大款”——到e为止

  有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

  1. 假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

                        

  2. 但是事实上,存储利息没有这么高,如果复利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢:

                             

  3. 我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000时,下式的值非常接近e:

             

  4. 为了便于思考,取n等于50:

                          

    当利息率是5%时,存款增长率就相当于e的20分之一次方:

            

    1/20正好等于5%,所以我们可以把上式改写成:

                rate表示利率!

  5. 再考虑时间因素,如果存款年限t年,那么存款最终增长率为:

            

    这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算,而上式也是这个增长率的通用计算公式。

 

  那么,如果银行的利息率是5%的复利,求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

                                 

  计算结果得13.86年:

            

  可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。

posted @ 2021-05-18 15:30  鸿bi  阅读(4112)  评论(0编辑  收藏  举报