2022春每日一题：Day 11

题目：高斯消元法

高斯消元法是一个模板，下面简单介绍其内容以及实现方法。

高斯消元是求一个求多元一次方程组的解的算法。
就是形式如下的关于x1,x2...xn的方程组的解。
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
. . .
. . .
. . .
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

高斯消元的核心思想是将上述方程组通过初等行列变换转化为如下形式
x1 + c12x2 + ... + c1nxn = b1
x2 + ... + a2nxn = b2
. . .
. . .
. . .
xn = bn

那么解也是显然了。
分三种情况
1.完美阶梯型--->唯一解
2.0=非零--->无解
3.0=0--->无穷多组解

所以如何将方程组完成该变化呢，有四步。
枚举每一列的系数
1.找到绝对值最大的那一行
2.将该行换到最上面
3.将该行第一个数变为1
4.将下面所有行的第c列清为0

举个例子分析一下：
原方程组：
x1 + 2x2 - x3 = -6
2x1 + x2 - 3x3 = -9
-x1 - x2 + 2x3 = 7

第一次操作后
x1 + 0.5x2 - 1.5x3 = -4.5
000 + 1.5x2 + 0.5x3 = -1.5
000 - 0.5x2 + 0.5x3 = 2.5

第二次操作后
x1 + 0.5x2 - 1.5x3 = -4.5
000 + x2 + (1/3)x3 = -1
000 + 000 + (2/3)x3 = 2

第三次操作后
x1 + 0.5x2 - 1.5x3 = -4.5
000 + x2 + (1/3)x3 = -1
000 + 000 + x3 = 3

此时已经完成了变换。
显然已经求出了 x3=3 ， 接下来一次一次把新求得的值代入方程组即可。
求出此方程组解
x1=1
x2=-2
x3=3

那么这就是高斯消元法。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 105
#define eps 1e-6
using namespace std;
int n;
double a[N][N];
int guass()
{
	int r=0;
	for(int c=0;c<n;c++)
	{
		int t=r;
		for(int i=r;i<n;i++)
		    if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))
		        t=i;
		if(fabs(a[t][c])<eps)
		    continue;
		for(int i=c;i<=n;i++)
		    swap(a[t][i],a[r][i]);
		for(int i=n;i>=c;i--)
		    a[r][i]/=a[r][c];
		for(int i=r+1;i<n;i++)
		    if(fabs(a[i][c])>eps)
		        for(int j=n;j>=c;j--)
		            a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
		++r;
	}
	if(r<n)
	{
		for(int i=r;i<n;i++)
		    if(fabs(a[i][n])>eps)
		        return 2; // 无解 
		return 1; // 无数解 
	}
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	    for(int j=i+1;j<n;j++)
	        a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	    for(int j=0;j<=n;j++)
	        scanf("%lf",&a[i][j]);
	int t=guass();
	if(!t)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][n])<eps)
			    a[i][n]=fabs(a[i][n]);
			printf("%.2lf\n",a[i][n]);
		}
	}
	else
	    puts("No Solution");
	return 0;
}