浙大MOOC数据结构 编程题 01-复杂度1 最大子列和问题

题目描述：

给定K个整数组成的序列{N1, N2, ..., NK}，“连续子列”被定义为{Ni, Ni+1, ..., Nj}，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：100个随机整数；
• 数据3：1000个随机整数；
• 数据4：10000个随机整数；
• 数据5：100000个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

解法一：

暴力枚举 O(n^3) 数据4,5 tle

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int a[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    int res = 0, st = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = i; j < n; j ++ )
        {
            st = 0;
            for (int k = i; k < j; k ++ )
                st += a[k];
            res = max(res, st);
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

解法二：

略微优化 O(n^2) AC

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int a[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    int res = 0, st = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        st = 0;
        for (int j = i; j < n; j ++ )
        {
            st += a[j];
            res = max(res, st);
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

解法三：

分而治之 O(nlogn)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int a[N];

int maxSubSum(int a[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return a[l] > 0 ? a[l] : 0;
    int mid = l + r >> 1;
    int lmax = maxSubSum(a, l, mid);  // 递归处理左区间
    int rmax = maxSubSum(a, mid + 1, r);  // 递归处理右区间
    // 处理跨界区间
    int mmax = 0, st = 0;
      // 计算跨界左区间最大值
    int lmmax = 0;        
    for (int i = mid; i >= l; i -- )
    {
        st += a[i];
        lmmax = max(lmmax, st);
    }
      // 计算跨界右区间最大值
    st = 0;
    int rmmax = 0;
    for (int i = mid + 1; i <= r; i ++ )
    {
        st += a[i];
        rmmax = max(rmmax, st);
    }
    mmax = lmmax + rmmax;         // 跨界区间最大值为 跨界左区间最大值 + 跨界右区间最大值
    return max(max(lmax, mmax), rmax);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    int res = maxSubSum(a, 0, n - 1);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

解法四：

在线处理： O(n)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int a[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    int res = 0, st = 0;             // res 记录最后答案， st（state） 记录当前结果
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        st += a[i];
        if (st < 0) st = 0;          // 若 st < 0, 重新开始记录连续子列
        res = max(res, st);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}