莫比乌斯反演及狄利克雷卷积速通

莫比乌斯反演速通

前言

由于请假错过了讲课，所以莫反是我第一个需要自学的难度不小的数学知识。

自学的过程的狼狈的，旁边也曾是自学的 czn 告诉我如果学会“狄利克雷卷积”就可以对“莫比乌斯反演”的理解进行“降维打击”。他还十分热心地带着我速通了一遍狄卷与莫反。

一知半解，就自学了很多资料。终于是补全了每一块知识碎片。

秉着造福后人的原则，我想写一篇非常非常通俗易懂的学习笔记。

易懂到什么程度呢？——就是初一的同学，也能速通。

食用指南：备好草稿纸，遇到式子先自己推导，培养推式子的习惯。

数论函数

这是狄利克雷卷积（后文简称“狄卷”）的前置知识。

数论函数是一类这样的函数：定义域为正整数，值域是一个数集。

数论函数间的简单运算有加法与数乘。

• 加法：定义为两个函数逐位相加。\((f+g)(n)=f(n)+g(n)\)
• 数乘：定义为其函数每位都乘一个数。\((xf)(n)=x\cdot f(n)\)

狄利克雷卷积

狄卷是数论函数间的运算，记为：

\[f*g=h \]

等号左侧展开为：

\[f*g=\sum\limits_{i|n}f(i)\cdot g(\frac{n}{i}) \]

一些运算律

交换律：\(f*g=g*f\)，这个显然。

结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)，因为：

\[\sum\limits_{i\cdot j\cdot k=n}(f(i)g(j))\cdot h(k)=\sum\limits_{i\cdot j\cdot k=n}f(i)\cdot (g(j)h(k)) \]

分配律：\(f*h+g*h=(f+g)*h\)，因为：

\[\begin{aligned} f*h+g*h&=\sum\limits_{i|n}f(i)h(\frac{n}{i})+\sum\limits_{i|n}g(i)h(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} f(i)h(\frac{n}{i})+g(i)h(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} (f(i)+g(i))\cdot h(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} (f+g)(i)\cdot h(\frac{n}{i})\\ &=(f+g)*h \end{aligned} \]

一些函数意义

1. \(\varphi(n)\)：\([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。
   性质：\(\varphi(1)=1\)，\(\varphi(n)=n-1\) 当且仅当 \(n\) 为质数。

2. \(\mu(n)\)：莫比乌斯函数。
   定义：

   • \(\mu(n)=1\)，（\(n=1\)）
   • \(\mu(n)=(-1)^k\)，（\(n=\prod\limits _{i=1}^{k} p_i\) 且 \(p_i\) 为指数为 \(1\) 的质数）
   • \(\mu(n)=0\)，（其他情况）

3. \(Id_k(n)\)：幂函数，\(Id_k(n)=n^k\)。

4. \(\sigma_k(n)\)：\(n\) 的所有因数的 \(k\) 次方和。

5. \(\epsilon(n)\)：值为 \([n=1]\)。即当且仅当 \(n=1\) 时值为 \(1\)，否则为 \(0\)。

6. \(d(n)\)：\(n\) 的所有因数个数，即 \(\sigma_0(n)\)。

7. \(I(n)\)：常函数，值恒为 \(1\)，即 \(Id_0(n)\)。

这里说明一下第七条，在一些参考书中写作 \(\mathbf{1}(n)\)，本文为了区分函数与常数，这里用 \(I(n)\) 代替 \(\mathbf{1}(n)\)。

一些式子

这里会有很多公式，可以再看证明之前自己先证一遍，难度从易到难。

式子一：\((xf)*g=x(f*g)\)，因为：

\[\begin{aligned} (xf)*g&=\sum\limits_{i|n} (xf)(i)\cdot g(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} x\cdot f(i)\cdot g(\frac{n}{i})\\ &=x\cdot \sum\limits_{i|n} f(i)g(\frac{n}{i})\\ &=x(f*g) \end{aligned} \]

式子二：\(f*\epsilon=f\)，因为：

\[\begin{aligned} (f*\epsilon) (n)&=\sum\limits_{i|n} f(i)\epsilon(\frac{n}{i})\\ &=f(n) \end{aligned} \]

式子三：\(I*I=d\)，因为：

\[\begin{aligned} I*I&=\sum\limits_{i|n} I(i)I(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} 1\\ &=d \end{aligned} \]

式子四：\(I*Id_k=\sigma_k\)，因为：

\[\begin{aligned} I*Id_k&=\sum\limits_{i|n} I(i)Id_k(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} Id_k(i)\\ &=\sigma_k \end{aligned} \]

式子五：\(\mu*I=\epsilon\)，因为：

\[\begin{aligned} \mu*I&=\sum\limits_{i|n} \mu(i)I(\frac{n}{i})\\ &=\sum\limits_{i|n} \mu(i) \end{aligned} \]

• 当 \(n=1\)，显然成立。
• 当 \(n\neq 1\)，将 \(n\) 分解为 \(n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\dots p_k^{m_k}\)。
  计算有效的 \(\mu\)，肯定质因子的指数为 \(1\)。
  所以每次在 \(k\) 个质因数选择 \(r\) 个，即 \(C_k^r\) 个。
  那就可以继续推式子了。

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i|n} \mu(i)&=C_k^0-C_k^1+C_k^2-C_k^3+\dots +(-1)^kC_k^k\\ &=\sum\limits_{i=0}^k (-1)^iC_k^i\\ &=(1-1)^k=0 \end{aligned} \]

因此，\(\mu *I=\sum\limits_{i|n} \mu(i)=[n=1]=\epsilon\)。

这里解释一下是怎么得到 \((1-1)^k\) 的：

二项式定理：\((x+y)^k=\sum\limits_{i=0}^k C_k^ix^{k-i}y^i\)。

这里把 \(x=1\)，\(y=-1\) 带进去得证。

式子六：\(\varphi*I=Id_1\)，因为：

设 \(p\) 为质数，\(m>0\)，则：

\[\begin{aligned} (\varphi*I)(p^m)&=\sum\limits_{i|p^m} \varphi(p^m)\\ &=\sum\limits_{i=0}^m \varphi(p^i)\\ &=p^0+\sum\limits_{i=1}^m \varphi(p^i)\\ &=p^0+\sum\limits_{i=1}^m (p^i-p^{i-1})\\ &=p^m \end{aligned} \]

因为 \(n\) 可分解为 \(p_1^{m_1}p_2^{m_2}\dots p_k^{m_k}\)，可由积性函数的性质得证 \((\varphi*I)(n)=n=Id_1(n)\)。

即 \(\varphi*I=Id_1\)。

式子七：\(\varphi=\mu*Id_1\)。

这个留作作业，答案放在文尾。

简单性质

上文的式子二、四、六就是主要性质，除此之外还有积性函数性质：

若 \(f\)，\(g\) 为积性函数，则 \(f*g\) 也为积性函数。

狄利克雷的逆元

对于每个 \(f(1)\ne 0\) 的 \(f\)，都存在一个 \(g\) 使得 \(f*g=\epsilon\)。

如何求 \(g\)？

先推一下式子：

\[\begin{aligned} f*g&=\sum\limits_{i|n} f(i)g(\frac{n}{i})\\ &=f(1)g(n)+\sum\limits_{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i})\\ &=\epsilon=[n=1] \end{aligned} \]

现在目标为定义 \(g(n)\) 使得等式成立。

可以定义：\(g(n)=\frac{1}{f(1)}([n=1]-\sum\limits_{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i}))\)。

\(g\) 就是 \(f\) 的逆元，也可写作 \(f^{-1}\)。

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演公式

在“狄卷”的“一些函数意义”中我们直接给出了 \(\mu\) 的定义与运算方式。

但其实是要推的，仅知道的条件是“定义 \(I\) 的逆为 \(\mu\)”。

让我们来看看如何用狄卷推出莫反的式子——看看狄卷是怎么降维打击的。

如果 \(g=f*I\)，则

\[f=f*I*\mu=g*\mu \]

一展开，即：

如果 \(g(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)\)，则

\[f(i)=\sum\limits_{i|n}\mu(i)g(\frac{n}{i}) \]

写得优美一点：

\[g(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)\Leftrightarrow f(i)=\sum\limits_{i|n}\mu(i)g(\frac{n}{i}) \]

而这个就是我们的莫反公式了！

别忘了，我们尚未知道 \(\mu\) 的值，现在来讲讲怎么求。

由于 \(I\) 是积性函数，所以 \(\mu\) 也是积性函数。简单算数可得：

\[\mu(p^k)=\begin{cases} 1 & k=0\\ -1 & k=1\\ 0 & k>1 \end{cases} \]

再根据积性函数，就得到了：

\[\mu(n)=\begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k & n=p_1p_2\dots p_k\\ 0 & \text{other situation} \end{cases} \]

于是华丽结束。

有没有体味到降维打击呀朋友们！

莫比乌斯函数的性质

如果不讲狄卷，这里应该是第二章，但是学过狄卷的我们可以速通以下三个性质。

1. \(\sum\limits_{i|n}\mu(i)=[n=1]\)。这个用 \(\mu*I=\epsilon\) 秒了。
2. \(n=\sum\limits_{i|n}\varphi(i)\)。用 \(\varphi*I=Id_1\) 秒了。
3. \(\sum\limits_{i|n}\frac{\mu(i)}{i} = \frac{\varphi(n)}{n}\)。因为 \(\varphi=\mu*Id_1\)，所以展开得
   \(\sum\limits_{i|n} \frac{\mu(i)\cdot n}{i}=\varphi(n)\Rightarrow \sum\limits_{i|n} \frac{\mu(i)}{i}=\frac{\varphi(n)}{n}\)，秒了。
4. \(\mu(n)\) 是积性函数，这个上文解释过了。

代码实现预处理 \(\mu\)

\(\mu\) 是积性函数，线性筛带走。

void init(int x)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!vis[i])
            pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=x;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

参考文献

• [1]，Mcggvc，《狄利克雷卷积》
• [2]，An_Account，《莫比乌斯反演-让我们从基础开始》
• [3]，铃悬，《铃悬的数学小讲堂——狄利克雷卷积与莫比乌斯反演》

式子七答案

\[\begin{aligned} \varphi&=\varphi *\epsilon\\ &=\varphi*I*\mu\\ &=Id_1*\mu \end{aligned} \]

结尾

有没有感受到用狄卷理解莫反“降维打击”的快感？

由于我是自学的，有一些地方会有纰漏，欢迎指出。

没有例题是因为还没去刷，大家如果想锻炼推式子能力可以看参考文献 2。