数学证明凸透镜成像原理
凸透镜成像原理
前言
凸透镜成像原理是个有意思的知识。初二教科书会以实验的方式告诉我们原理。
快要参加中考了，复习的时候老师说了一条公式：
但它为什么是对的，所以来证明一下。
几何法
要点：三角形相似。
证明
\(证：\)
\(\because\triangle ABO∽\triangle A'B'O\) \(\qquad\) (三角形ABO相似于三角形A'B'O)
\(\therefore AB:A'B'=u:v\)
\(\because\triangle COF∽\triangle A'B'F\)
\(\therefore CO:A'B'=f:(v-f)\)
\(\because 四边形ABOC为矩形\)
\(\therefore AB=CO\)
\(\therefore AB:A'B'=f:(v-f)\)
\(\therefore u:v=f:(v-f)\)
\(\therefore u(v-f)=vf\)
\(\therefore uv-uf=vf\)
\(\because uvf\neq 0\)
\(\therefore \frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}\)
\(\therefore \frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{1}{u}\)
\(即\)
\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)
\(证毕\).
函数法
要点：一次函数，正比例函数。
证明
步骤
（一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（\(x\) 轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（\(y\) 轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联.则：点 \(A\) 的坐标为 \((-u,c)\)，点 \(F\) 的坐标为 \((f,0)\)，点 \(A'\) 的坐标为 \((v,-d)\)，点 \(C\) 的坐标为 \((0,c)\).
（二）将 \(AA'\)，\(A'C\) 双向延长为直线 \(l_1\),\(l_2\)，视作两条函数图象.由图象可知：直线 \(l_1\) 为正比例函数图象，直线 \(l_2\) 为一次函数图象.
（三）设直线 \(l_1\) 的解析式为 \(y=k_1x\)，直线 \(l_2\) 的解析式为 \(y=k_2x+b\).
依题意，将 \(A(-u,c)\)，\(C(0,c)\)，\(F(f,0)\) 代入相应解析式，得
得
\(\therefore 两函数解析式为\)
\(\therefore 两函数交点 A'(x,y) 满足方程组\)
\(\because A'(v,-d)\)
\(\therefore \begin{cases}-d=-\frac{c}{u}v\\-d=-\frac{c}{f}v+c\end{cases}\)
\(\therefore -\frac{c}{u}v=-\frac{c}{f}v+c=-d\)
\(\therefore \frac{c}{u}v=\frac{c}{f}v+c=d\)
\(\therefore \frac{cv}{u}=\frac{cv}{f}+c\)
\(\therefore cvf=cuv-cuf\)（两边同乘 \(uf\)）
\(\therefore vf=uv-uf\)
\(\because uvf\neq0\)
\(\therefore \frac{vf}{uvf}=\frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}\)
\(\therefore \frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}\)
\(即\)
\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)
\(证毕.\)
结尾
这篇文章之前写过了，2024.6.6 进行了修改，使其更加可读。
