博弈论
一、巴什博弈
一堆物品有n个，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
解： 显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如n=（m+1）r+s ，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
参考：https://baike.baidu.com/item/巴什博弈/1819345?fr=aladdin
二、SG定理
Winning state：胜态
Losing state：败态
1.terminal states=L state, S=terminal state ⇒ S=L 终态=败态
2.∃move, S->L ⇒ S=W 存在一个移动，能到达败态，的状态是胜态
3.∀move, S->W ⇒ S=L 对所有移动，都会到达胜态，的状态是败态
题：A和B轮流搬砖，每次只能搬2或3块转，没有砖搬的输，A先搬，共n块砖，问谁能赢.
解：A的状态
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S | L | L | W | W | W | L | L | W | W | W | … |
| mex{list}=不在集合中的最小非负整数 | |||||||||||
| SG(n)=mex{SG(可到达的n)}=⊕SG(可到达的n) | |||||||||||
| SG=0 ⇒ S=L |
SG(0)=mex{}=0
SG(1)=mex{}=0
SG(2)=mex{SG(0)}=mex{0}=1
SG(3)=mex{SG(0),SG(1)}=mex{0,0}=1
SG(4)=mex{SG(1),SG(2)}=mex{0,1}=2
SG(5)=mex{SG(2),SG(3)}=mex{1,1}=0
SG(6)=mex{SG(3),SG(4)}=mex{1,2}=0
SG(7)=mex{SG(4),SG(5)}=mex{2,0}=1
SG(8)=mex{SG(5),SG(6)}=mex{0,0}=1
SG(9)=mex{SG(6),SG(7)}=mex{0,1}=2
三、Nim游戏
Alice与Bob总是在进行各种各样的比试，今天他们在玩一个取石子的游戏。 在这个游戏中，Alice和Bob放置了N堆不同的石子，编号1..N，第i堆中有Ai个石子。 每一次行动，Alice和Bob可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。 Alice和Bob轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。 假设每一轮游戏都是Alice先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都足够聪明，谁会获得胜利？
解：
第i堆石子的SG函数：
SG(0)=mex{}=0
SG(1)=mex{SG(0)}=mex{0}=1
SG(2)=mex{SG(0),SG(1)}=mex{0,1}=2
……
SG(ai)=mex{SG(0),……,SG(ai-1)}=mex{0,1,……,ai-1}=ai
所有堆的SG函数：SG=SG(a0)⊕SG(a1)⊕……⊕SG(an)
