前言：最近思维能力下降非常快，所以学习一些数论知识。比较难的章节会补充一些笔记。
第一章 整数的唯一分解定理
- 狄利克雷定理：设 \(k>0,l>0,\gcd(k,l)=1,\)，形如 \(kn+l,n\in N^{*}\) 的质数有无限多个。
命题：当 \(k=4,l=3\) 时，上述定理成立：
显然所有质数可以分为 \(4n+1,4n+3,2\) 三类。
假定形如 \(4n+3\) 的素数有最大值 \(p\)，我们令 \(P\) 为所有小于等于 \(p\) 的质数的两倍再减去 \(1\)，即 \(P=2^2\times 3\times 5 \times 7 \times\cdots \times p-1\)，则：
- \(\forall q \leq p\) 且 \(q\) 为质数，\(q\nmid P\)；
证明：若 \(q\mid p，因为 q\mid 2^2\times 3\times 5 \times 7 \times\cdots \times p\)，所以 \(q\mid 1\)，与 \(q\) 为质数矛盾。
由此，\(P\) 的所有质因子大于 \(p\)。
- \(P\) 至少含有一个形如 \(4n+3\) 的质因子。
证明：\(P=4N+3\)，归纳可证若干个形如 \(4n+1\) 的质因子的乘积一定还是 \(4t+1\) 的形式，无法得到 \(P\)。
综上所述，\(P\) 中存在大于 \(p\) 的形如 \(4n+3\) 的质因子，与假设矛盾。证完。
