[文化课] 导数放缩专题

六个常见函数的图像

    

    

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$e^x$的泰勒展开：

$$e^x= \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{x^i}{i!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ··· + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

因此有$$e^x \geq x + 1 \ (x \in R)$$

也就是$$x \geq \ln x + 1 \ (x>0)$$

代换一下$$\frac{1}{e^x} \geq 1 - x  \\ \ln x \geq 1 - \frac{1}{x}$$

当然也有（尽管目前从没见过）$$e^x \geq \frac{1}{2}x^2 + x + 1 \ (x>0)$$

一种变形

$$x^2e^x=e^{x+2 \ln x} \geq x+2 \ln x+1 \ 或 \ xe^{2x}=e^{2x+ \ln x} \geq 2x+ \ln x+1$$

同理还有$\ln (x+1)$的泰勒展开

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诡异放缩：$$e^x>x^2$$或$$\ln x <\sqrt{x}$$

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三角函数的分段放缩

$0<x<1$时，放到$x$

$$x>\sin x \ (x>0)$$

$x>1$时，放到$±1$

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

此外$0<x<\dfrac{\pi}{2}$时 $$\sin x < x < \tan x$$

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基本不等式放缩

可处理根式$$\sqrt{x+1} = \sqrt{(x+1) \times 1} < \frac{(x+1)+1}{2} = \frac{x}{2} + 1$$

柯西不等式放缩（或求最值）

例如$\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{x+1}{\sqrt{\dfrac{2}{3} (x^2+2) (1+\dfrac{1}{2})}} \le \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$